Методы дифференциальной геометрии в задачах механики (1014092), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Пусть 1 - натуральный параметр кривой (' (ее длина, оточитызаемая от некоторой наперед заданной точки) н кривая завается уравнениями Г: — г(м,~), м'-иФ, -с (1)с>г-гШ, (2,31) Пусть й — единичный вектор главной нормали кривой /", Г - единичниз( касательный вектор, а х — ее кривизна в точке я . Тогда по первой формуле Френа (гл.
1): (2.32) Обозначим через о угол миду векторами й и Р . Умноиим равен- ство (2.32) скелярно на й . для правой части имеем (« уу,й )»Хйы, для левой части получаем я й ) - я„и ~ .гг„„м к -(т и~ - гтм ~р гй) (г ~и~й'+2(г, о)йй (7~а)б'. учитывая формулы (2.19) и (2.29), приходим к равенству лй~5Ю у р (2.33) (,~(из гМ~(июль"~ (Цкк (2.34) ЕЮ~~ И'йгя'г' И~ где величина ~ одинакова лля всех кривых (, проходящих через точку М и имеющих одинаковые касательные векторы Е, т.е. одинаковое направление на поверхности Я . В то ке время и - кривизна той кривой ~~ с данныи ~а~рав~ен~е~ ~, ~~тор~~ получается при сечении поверхности плоскостью, проходящей через векторы г и и . Такая плоскость называется но ахьной плоскостью, получающаяся в сечении кривая р" - но альныи сечением поверхности, а ее кривизна ~7 - но ельней низкой позе хности б в точке М в направления г .
Заметим, что для кривой ) соответствующий ей вектор Рр коллинеарен вектору 7г . Рнс, 2.5 Рис. 2.6 Р о.зз) ~ " июмм.аиФ " 3 кает тот факт, что кривизна произвольной кривой на поверхности мокет быть определена по нормальной кривизне поверхности. Величина У = 1/у называется сом но альной визны поверхности в данной точке М и в данном направлении й, а точка, отстоящая от Х на расстоянии ~/Г ( по нормали в соответствухщем направлении, - ент м но ельней визнм.
Рассмотрим точки )ь) (а,, ~~ ), М (и,ь') на поверхности л проходящее через них нормальное сеченяе (рис. 2.6). Пусть Р проекция точки М на касательную плоскость к поверхности в точке М . Тогда расстояние И от гочки М до касательной плоскости определяется формулой Ь = !(г(оМ, и)(. Раэловим радиус-вектор точки М в ряк Тейлора; г г +гь (и и ) ) (г ь 7+2 г (и и ) га (и" ио)(э э~)+ г +-г (ю'-~~ где точками обозначены чэены третьего и выие порядков малости относительно )Г-Г ( .
Подставляя зто соотноиение в выракение для и, получаем с учетом (2.29): ),( (м мо) ~УМ(п мо)(~" ио)+А(и' гlо) 3 Цусть теперь точка М двинется к точке Иэ по кривой ~, являищейся нормальев сечением поверхности по направлению М,р Тогда и и„и' — и,, причем в пределе (зэиеняя конечные йриращения бесконечно вельми) получаем У ('(,(мг+~М~м,~, е )(,~,'~ (2.36) т.е, геомет еский сынсл вто й кв атичной заключается в том, что она скулит мерой того, насколько поверхность в окрестности данной точки уклоняется от касательной плоскости. Для более нагляэного и точного количественного описания степени уклонения поверхности от касательной плоскости рассматривается понятие соприкасавщегося параболоида. Введем новув систему коорвинэт: ось б направим по нормали к поверхности, оси Х и и рэсполоиим в касательной плоскости по натравленмяи г„и 1' центр системы координат поместим в точке Н - (ме, ьэ ).
Тогда в (2.33) мокно заменить тЬ Ю, и-а„х, э -гг~ =и, а само равенство (2.35) моннэ записать так: д' ~( я «2 Миф ФЯГ~ )~- Г (2.37) где точками обозначены члены третьего и внэе порякков относительно я и у . Главная часть этого вырзкения я --'(1,х"гмх~+МР') г (2,38) соответствует поверхности второго порядка, называемой соприкасаних случаю~ соприкасэюи(яйся парэболоид монет быть одной из следующих поверхностей 1) (.К-М ъ О - эллиптический параболоид; 2) 1Л~- М с Π— гиперболический параболоид; 3) 1.ЯГ- Я О - сараболнческнй цилиндр; 4) Е ~ Ф М = Π— плоскость.
В соответствии с типом соприкасзлщегося параболоида обыкно\ У Р Ы~~9й ~*й, й ЯВЛЯЯ~~. Интересно отметить одно важное геометрическое свойство соприкасающегося параболоида, аналогичное свойству (2.13) касательной плоскости. Пусть М, - ( иь, г~' ) и М- ( ы, э ) — точки поверхности з, а Ц - проекция точки М на соприкасакщийся параболоид поверхности 3 в точке М,. Тогда (2.39) я-Мо ! ММз ! причем точка М стремится к точке М,, оставаясь на поверхности э .
Свойство (2.39) может быть принято за определение соприкасающегося параболоида (см., например, работу [В)) ° Говорят, что поверхность э и ее соприкасающийся параболокд имеют в точке Мр касание второго порядка (см. знаменатель в (2.39)), а сзм соприкасзхщийся парзболоид воспроизводит фо)му поверхности в окрестности точки касания во втором приближении (см.
(2.37)). Помимо построения соприкасающегося параболоида, имеется еще один наглякный геометрический способ определения типа обыкновенной точки поверхности, основзнный на исследовании сечений поверхности нормальной плоскостью. рассмотрим вращение нормальной плоскости вокруг вектора П . Кзщпое получзхщееся нормальное сечение )" будет иметь свою нормальную кривизну О (/"). Отлокиы от точки М на касательной плоскости в денном направлении е (единичный касательный вектор нормального сечения) векторр длиной )~Я ~, где К = 1ф — ракиуо нормальной кривизны в направлении Е, т,е. ,О=)Ъ)( г . Геометрическое место концов этих векторов образует й РУ "Р" Э У ФЮЕ~2 имеет вид ~В 3 1х 2Мх~ ".Л )~~=+~ (2.
10) и является уравнением некоторой центральной кривой второго поряика (с центром з точке М ). Псно, что з эллиптической точке поверх- 2 ности (~Х- М э О) индикатрнса кривизны представляет. собой эллипс, в гиперболической точке ((.Л'- М х О) — пару сопряженных гигзрбол, э параболической точке ( 1Л(- М = О) - пару перзллельных пряиьгх. В точке уплоцения индикатриса кривизны не существует. Уравнение инлэхатрисы кривизны (2.40) модно привести к каноническому внлу. ". го означает, чгс от базиса , „ , Г в касатель- 41 ной плоскости надо перейти к некоторому новому ортонормировэнному базису, базисные векторы которого направлены по главным осям кривой второго порядка (2.40). Пги два направления назывзигся глав- ниии нап ениями позе ости в денной точке.
эцинюи. н, е ~ ." ю главном направлениям, называются главеаи визнами позе хности в данной точке. Обозначим их через у, и д В канонических координатах м, р уравнение индикатрисы кривизны примет вид аул+ Бр'-+~. (2.41) Пусть «Р - угол мекду осьюэф канонической системы (зта ось соответствует главному направлению) и произвольным нормальным сечением. Тогда по построению компоненты вектора р имеют вид ,р-Я~~з(л б~ ю ф - ~ф Р ) срл «г , где Р - раииус кривизны этого произвольного нормального сечения.
Напомним, что знак в правой части уравнений (2.40) и (2.41) совпадает со знаком радиуса нормальной кривизны Р . Следовательно, уравнение (2.41) моино переписать в виде ~спи у>~ 5л(п «Р- — -~, . г К. (2.42) Главным направлениям в канонической системе координат отвэчаот значения угла «Р = О и «Р= Х/2. Поэтому иэ (2.42) получаем простые вмрзления коэффициентов канонического уравнения через главные кривизны: м =)~,, Ь =~ . Тогда каноническое уравнение индикатрисы окончательно моино переписать в виде у ггпу «г )г зги «г у (2.43) — аи «Р э — л(л «Ф- — . / г Г, 2 (2.
44) 4 Рл . Р Полученная формула носит название фон(лыЗйлейа и дает возмсиность вычислить Нормальную кривизну р (рцвяус нормальной кривизны Р в (2.44)) в произвольном направлении «г через главные кривизны у, и ~~ (через главные радиусы кривизны Р, и Рл в (2.44)). Отсюда ясна необходимость разработки специаяьного аягоритма вычисления главных кривизн и главных направлений. Однако прелде отметим взлное следствие фориулы Эйлера; главные кривизны являются экстремальньии значениями нормальной кривизны поверхности. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть два случая: 1) Р, ~~, 2) )";>~л В первом случае из (2.43) получаем О, = 0 =О, т.е.
любое направление является главным, а в канонических координатах инди- катриса кривизны (см. (2.41) ) представяяет собой окрукность. Это специальный случай эллиптической точки поверхности (окруяность— частный случай эллипса) и соответствуюлая точка называется сфеюи- ческой или оыбилической точкой поверхности.
Во втором, общем, случае формулу Эйлера моино переписать так: )Р=~р005 (РР~~ЭРП РЭ ~ СО5 (О'Я 5РП РУ'Р~дС05 РУ ~дС05 Ц~ -()Р,-Ол)с05 (Г 00, следовательно, при любых с5 имеем у зул~», Теперь займемся задачей вычисления главных кривизн и главных квпревлений.
Ясно, что иаправлекие будет глзвныи, тогда и только тогда. когда соответствующая ему вторая квадра- тичная форма (2.28) (т.е. квад)иаичная форма инднкатрись кривизны (2.40) в денном базисе г;,,р ) првиимает экстремальное значение. Но по с~ределению вторая квадратичная форма является скалярньвр произведением веяторов рьай и -р(Г . Поэтому рассматриваемое ска- лярное произведение будет принимать экстремальное значение только в случае коллинеарности входящих в него векторов, т.е.
ап --ал и (напомним, что векторы рттг и рХГ лахат в касательной плоскооти к поверхности в данной точке). Подставляя это вырзкение в (2.28) и вспоминая, что МГ,Й') есть первая квадратичная форюа, получаем с учетом (2.34): О-О , т.е. коэффициент пропорциональности сов- падает с нормальной кривизной в данном направлении, которое по построению является глзвньм. Эти простме юассукдения приводят нас рррр р артур р 'р -л р л'р рра главным тогда и только тогда, когда ~ьСп --~А", (2АВ) где ~ — главная кривизна. Теорема Родрига дает возмокность определить главные кривизны и главные направления через собственные значения и собственныз векторы некоторой матрицы.
В семом деле, Ап - п„йс 'прсАО; А =гррЫсс+Г~Ыь р (2. 46) ПОСЛЕДНИЕ Дза РаВЕНСтВа СУТЬ РаЗЛОКЕНИЯ ВЕКТОРОВ П„,пм ПО ба- зису Г' , Р' касательной плоскости, причем факт коллинеарности в .кторов Рг, , 7г„ и касательной плоскости следует из равенства ( пр,п ) = †„ ( тг,п,.)„ = 0 и т.д.. НозффиЦиенты РазлокениЯ 3г найдем,умнокая (2.47) скалярно на рр и рр..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
