Основы теплопередачи (Михеев М.А.) (1013624), страница 58
Текст из файла (страница 58)
"1 Влияние сужения круглого ребра приближенно может быть оценено с помощью кривых на фиг. 188. Пример 38. Какое количество тепла передается через железное ребро толщиной 8=5 мм, высотой а=50 млт н длиной 7=1 лт и каков температурный напор чз на конце ребра, если 1=50, па =а =10 и Э!= 80? Сначала произведем расчет по упрощенным формулам, пренебрегая теплоотдачей с торца. В этом случае Г 2а Г 2.10 1н = ~л —, =- у — — = 8„95 ж )о У 50 0,005 т/г = 8,95 0,05 = 0,447. Из табл. 49 находим: з)1 (О, 447) = О, 46, сь (О, 447) = 1, 1О н !Ь(0,447)=0,42. Аллее, согласно формуле (14) 80 чз= 1 10=72.7'С и согласно формуле (!5) !9 = 50 8,95.0,005 80 0,42 =75,5 акал)час.
Если расчет произвести по точным формулам (12) н (!3), то получим: 1 80 Ээ — 80 — ! 12 1,10+ — 0,46 8,95 50 10 8,95-50 + ' 0,442 (7 = 50 8,95.0,005.80 10 †1 1- о95 — 79 к1спл/час, 1+ — ° 0,42 8 95.50 й 52) ПЕРЕДАЧА ТЕПЛА ЧЕРЕЗ РЕБРА ззз Если же расчет произвести по формулам (14) и (15), а теплоотдачу с торца учесть путем условного увеличения высоты ребра на половину его толщины, то получим: й = О,ОЗ25 м; т =.8.95; тй = 8,95 0,0525 = 0,47; 80 с)х (0,47) = 1,12; 1Ь (0,47) = 0,4ч; Эя — 1 2 — 71,5'С и О=180.0,44=79 ккал/час В последнем случае результаты расчета получаются такие же, как и при расчете по точным формулам (12) и (13). Пример 39. Определить количество тепла, снимаемого с прямого ребра трапециевидного сечения длиной 1=1м,й=50 мм, 3,=0,1 лгм и За=О,З мм прн а=20 ккал/мзчас'С, 1=40 ккал1м час'С и Эх=80'С, При расчете по формулам (18) и (19) получим Э,=18,0аС; ()'=765 ккал/час и р =763 ккал/мзчас (Е'=0.1003 мз).
О' Прн расчете по упрощенному методу соответствующее ребро прямоугольного сечения должно иметь толщину а = 0,5 мм. Производя расчет для етого ребра по формулам (14) и (15), получим: О ",=16,73'С, О=70 клал(час н 4===698 ккал!манас (Г.=0,1005мз). Далее, определяются 16,73 аз 0,3 Эх 80 ' 'о1 0.1 и из фиг. 188 значение поправочного козффицнснта = 1,10. Подставляя в формулу (23), имеем: О' =- Е Еч 4 = 1, 10. О, 1003 698 = 76, 5 акал/час, т. е.
в точности такое же количество тепла, как и при"расчете по формуле (19). Пример 40. Определить теплоотдачу круглого чугунного ребра постоянной толщины 3 = З,б мм, гх — — 60 мм и гз — 120 мм, а = 30 ккал/мз часаС; 1 = ЗО акал/м часВС1 Эт — 80'С. При расчете по формулам (26) и (21) с учетом теплоотдачн с торца имеем: Эх=30,4'С и О" = 89,5 ккал(час. При расчете по упрощенному методу получим: условная высота пряо мого ребра й=(гз — гх)+ — =0,0618 м; т=23,6; тй=!,46; сй (1,46)= Эз =2,269; 15 (1,46) = 0,8977. Далее, по формулам (14) и (15): — =3,44 и О = 1 =1834 ккал)час. Поверхность прямого ребра при 7= 1 м, Р=0,1236 мз. О Эз Следовательно, 4= — =1480 ккал1мзчасаС.
Из фиг. 190 при — =0,44 и Ё гз — =2, находим а"=0,855, и так как Р"=0,0706 мз, то подставляя Гх полученные значения в формулу (28), окончательно имеем: О =с Р'7= 0,855.0,0706.1480=89,5 ккал/час, т. е. то же значение, что и по формуле (27). 334 Отдельные зАДАчи теплопегедАчи 53.
МЕТОД ЭЛЕМЕНТАРНЫХ БАЛАНСОВ Выше мы видели (см. гл. 8), что аналитическая теория теплопроводности имеет довольно узкую область применения и не может служить основой для производства технических расчетов. Это обусловливается тем, что дифференциальное уравнение теплопроводности может быть решено лишь для тел простейшей формы и лишь в том случае, когда начальные и граничные условия не очень сложны, а также при допушении, что физические параметры вещества от температуры не зависят. В действительности, можно говорить о постоянстве плотности или удельного веса твердых тел; что же касается теплоемкости, то она претерпевает значительные изменения, а коэффициент теплопроводности веществ может изменяться в несколько раз.
Попытка учесть зависимость физических параметров от температуры, оставаясь .в пределах аналитической теории теплопроводности, вряд ли была бы успешна, так как получающееся при этом дифференциальное уравнение дс ст ~дАЛ+ дУс+ для) + т дГ ~(дА) + (дУ ) +1дс) 1 ( ) достаточно сложно, вследствие чего оно не может служить средством для технического расчета.
Иные перспективы и возможности открываются в случае применения метода элементарных балансов А. П. Ваничева 110]. Сущность этого метода заключается в следуюшем. Рассматриваемое тело разбивается на ряд элементарных геометрических форм, в пределах которых закон изменения температуры может быть, с известной степенью точности, принят линейным. В качестве элементарного объема целесообразно принять параллелепипед со сторонами Ьх, Ьу, Ьз.
Серией таких параллелепипедов могут быть описаны контуры любого тела. Расчетными точками при этом являются места пересечения плоскостей разбивки,т. е. углы параллелепипедов. Температуры в расчетных точках снабдим индексами, характеризующими время и место. Температуру расчетной точки в данный момент времени обозначим просто Е Температуры в данный момент времени в соседних точках, находящихся на расстоянии Ьх, Ьу, йе, обозначаются соответственно через 1„+а,, 1 Ра , 1,+а, .
ТемпеРатУРа Расчетной точки в последующий момент времени, т. е. через промежуток времени Ьт, обозначается 1, а,. Пусть заданы изменения параметров с и 1. в зависимости от температуры и краевые условия. Требуется определить температуру во всех расчетных точках, во все последуюшие моменты времени. й зз) МЕТОД ЭЛЕМЕНТАРНЫХ БАЛАНСОВ 335 Расчетные формул з получим, применяя законы Фурье и Ньютона к составлению тепловых балансов групп элементарных параллелепипедов, на которые разбито тело.
При этом могут встретиться разнообразные варианты расположения расчетных точек. Они могут находиться в пределах однородной среды, лежать на границе двух и более твердых сред, могут также быть расположены на границе с жидкостью или газом. При всякой конкретной задаче имеется ограниченное н обычно не очень большое число вариантов расположения точек. Для каждого такого варианта, объединяющего одну или несколько точек, необходима своя расчетная формула. вх вт Рассмотрим случай, когда расчетная точ- Ьсз 1 ! ка окружена со всех сторон однородной ~сз ~ ~ г„ 1 твердой средой. 11роцесс распространения тепла ~,'гэ ву определяется численными значениямитрех параметров: ~ А г л..! 9г ~ г, коэффициента теплопроводности, ггеплоенкости и удельного веса.
Удельный У-АУ вес изменяется незначитель- г-йя но и во всех дальнейших рассуждениях считается постоянным. Коэффициент те- Фмг. 191. схема разбивки тела на плопроводности и теплоем- элсмслты. кость принимаются линейными функциями температуры: >.=А-',-В1 и с„=С+Й1. Схема расположения расчетной точки представлена на фиг. 191. То обстоятельство, что рассматриваемые параллелепипеды невелики в сравнении с размерами всей системы, позволяет использовать в дальнейших выводах следующие допущения: 1) изотермические поверхносиги в пределах данного элемента представляют собой параллельные плоскосгпи, равностоящие одна от другои; 2) величина среднего эа время Ьт теплового потока через какую-либо поверхность пропорциональна начальному в пределах элемента времени Ьт значению температурного градиента; 3) увеличение теплосодержания элемента пропорционально приращению температуры в средней точке его объема.
Для получения расчетной формулы составим тепловой баланс элемента со сторонами дх, Ьу, Ье, температура в центральной точке которого является расчетной температурой 8 и г, ед,. Элемент расположен в центре группы из восьми таких же элементов. Количество тепла, вошедшее в 336 »»». 12 отлкльнык задачи ткплопкгкдлчи элемент за время Л» через левую грань, параллельную плоскости г'ОЕ, т. е. грань, лежашую в плоскости, выражаемой дх уравнением х = — —, на основании закона Фурье равно: ~» — д.» ЛЯ, .= — Л Я Лу Лз Л с = х — дх = — (А+В~„дх) ' Лу Лз Лх. 2 За то же время через противоположную грань элемента дх х = + —; — поступает: ~ — с ЛО,= — (А+Вг дх) — — — ° Лу Лг Лт.
»+ — дх 2 Количество тепла, вошедшее в элемент через четыре других грани, параллельные плоскостям ХОг и ХОх., определяется аналогично: Ла.= — (А+В~, ) ', '-' Л .Л .Л,, ду ду 2 '. +д ЛО4= — (А+В1 д ) Лх Лз Л», 2 с — с, ЛЯ,= — (А+В1 д ), Лх Лу Лх, г —— 2  — К,+д, ЛЯ,= — (А+В~ ),' " Лх.Лу.Л.. »+— 2 В силу линейного характера изменения температуры в пределах расчетных элементов справедливы равенства: +» — дх 2 + "+дх дх 2 »+— 2 МЕТОЛ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ БАЛАНСОВ й 53! с+ с„ — и т.
д. Ду Д г С учетом этих равенств выражения для ДЯс, ЬЯг Ь(;) могут быть переписаны в следующем виде: Ск — Дх С С» — Дх ДЯ,=- — (А+В,' — д) „' ДуД Д, 1 Ск '; Дх ' С Сх Р Дх ЬЯ = — (А+  — ) — ДубкеЬТ, 2 с дх с с ДЯз — — — (А+  — — — — - 1 — Дх Де Дк, (а) У ДУ У+АУ ЬЯ~ —— — (А )-  — — ) Ьх Ь~ Дк, Ь(,)г — — — (А+В ~ Ьх Ьу де, ДЯА= — (А+В ) ' ' ЬхЬуЬТ.
Алгебраическая сумма количества тепла, 'вошедшего за время сгг через все грани в элеменг, равна увеличению его теплосодержания. Это можетбыть выражено в виде равенства: ~М ДЯс+ДЯг С Доз+А(~в+ Д(егг+ДЯЕ= — с(с):т л)У дс=(с+ш)ддхдуде(с — г). Подставляя в это равенство вместо Щс, ЬЯг... ранее найденные для них выражения (а) и решая полученное уравнение относительно интересующей нас величины, температуры в последующий момент времени С +, получим: х( к — Дк) к — Дк х( х+ Дк) к+Дк С..Р Д. — 'Т(С)'~+ СС(С) + АС(С) + У+Дк У+АУ (30) + АС(с) + й(с) + г( г — Дг)гг — Дг )г г (Сг+ Дг )Сг -~- Дг + Ас(с) + лр) 2Я М. А. Михеев.
338 ОТДЕЛЬНЫЕ ЗАЛАЧИ ТЕПЛОПЕРЕЛАЧИ где й',(А) =---~,„(А +- -В1 ), +АЗ|»., ау+АА аг+А1Г,, „,, (31) где Ьс(2А+ В1) Е 1 1 1 А1=1 — — — — — ~ — -+ — -+ —.', т1с+Ю> ),ах' а з а' 1' (с) Пользуясь найденной формулой, можно по известному начальному распределению температур найти последовательно величины температур во всех расчетных точках в моменты времени т+Ьт, е+2Ьт, е+Збп и т. д. вплоть до интересующего нас момента. Найденная формула справедлива лишь в том.случае, если следа однородна, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
