Основы теплопередачи (Михеев М.А.) (1013624), страница 59
Текст из файла (страница 59)
е. все рассматриваемое тело состоит из одного и того же вещества, а граничные условия заданы в виде температуры поверхноюпи. В случае, если отдельнь1е участки системы состоят из различных веществ, а также в случае задания граничных условий, в виде температуры окружающей среды и закона теплообмена, следует использовать иные зависимости, которые подробно изложены в работе А. П. Ваничева [101. Для лучшего усвоения методики подобных расчетов далее будет дан конкретный численный пример. Однако, предварительно должен быть рассмотрен вопрос о величине промежутка времени Ьт, который до сих пор считался произвольным. Расчетная формула (30) может быть представлена в следующем виде: МЕТОД ЭЛЕМЕНТАРНЫХ БАЛАНСОВ 33й й 53) 1 ьт(А+ 2 Вгча ) Ат = „з44(с+ гм) Формула (31) представляет собой полипом первой степени с коэффициентами Аь зависящими от физических параметров, координатных отрезков и 44т; от температуры они зависят лишь в силу изменения физических параметров.
Такую структуру расчетные формулы имеют и в более сложных случаях. На выбор величины йт пока никаких ограничений наложено не было. Увеличение ее численного значения может значительно сократить объем вычислительной работы, а потому весьма заманчиво. Однако, ссли придать йт чрезмерно большое значение, погрешность, вызываемая вторым допущением, т.
е. тем, что средний тепловой поток за время Лт считается пропорциональным начальному во времени градиенту температуры, может стать весьма значительной. Иначе говоря, при больших значениях Ьт ошибка экстраполяции резко возрастает, что немедленно сказывается на точности вычисления последующих температурных полей. Для определения максимально допустимой величины Пт обратимся к формуле (31).
При определенной разбивке системы на расчетные элементы и при заданном законе изменения физических параметров, величины коэффициентов А, зависят лишь от Ьт и температур. Среди температур, относящихся к данному моменту времени и входящих в состав формулы, имеются наименьшая и наибольшая температуры. Для того, чтобы переход к последующему температурному полю не представлял собой сомнительную экстраполяцию, необходимо, чтобы искомая температура не оказалась ниже первой или выше второй. Иными словами, необходимо, чтобы температурные изменения, происходящие за время Ьт, определялись температурными разностями, существующими в рассматриваемом участке, и лежали бы в тех же пределах.
В случае произвольного температурного поля это условие соблюдается лишь в том случае, когда все коэффициенты А, положительны. Коэффициенты А„АМ А4, АБ, А„и Ат по своей структуре могут иметь только положительное значение. Коэффициент же А, [уравнение (с)] в зависимости от величины 44т может принимать любые значения в пределах от+ 1 до — 0э. Максимально допустимой величиной Ьт, обоз- 22* отдельные 3АдАчи теплопегедАЧН (Га. !т ,(с+ )зт,„) шах /! 1 1т (2А -)- Вт,„ах) !Х,—,ха+ —;,-а+ гг) 1 (32) ! т(С+711 и,) д, и 71 1 1х (2А + В!паа) (,х .г + Э г + азг) ввести в расчет наименьшее, так как при этом условие А, ) О будет выполнено для всех температур, возможных в системе.
Даже при незначительном превышении этой величины, изменения температур начинают носить беспорядочный скачкообразный характер и расчет становится неверным. Если система состоит из нескольких веществ или окружена жидкой средой, величина йт,„ должна быть найдена для всех случаев, встречающихся в системе, и из найденных значений в расчете должно быть принято наименьшее.
Пример 41. Методика применения описанного расчетного метода становится ясной при рассмотрении следующего примера. Куб из магнезита, с длиной ребра а=0,4 ла, равномерно прогретый до 1=1000пС, помещен в проточную воду с т=опС. В силу большой величины козффнциента теплоотдачи поверхность куба принимает и сохраняет во все время протекания процесса охлаждения теипературу окружающей среды, т. е.
1=0'С. Физические параметры магнезита следующие: 1=10 — 00071 (т. е. А=10 и В= — 0007),с=022+00001 1(т. е. С=022 и!1=00001), начаемой в дальнейшем гхт,„, является такая, при которой А, обращается в нуль. При заданных ьх, аау, Лз, у, А, В, С и 0 величина А, зависит не только от алт, но и от температуры, влияние которой может быть различно, в ззвисимости от величин и знаков В и й. Среди температур, встречающихся при задании начальных и граничных условий, имеется наименьшая и наибольшая, обозначим их х,„и 1,„. Температура любой точки в любой момент времени не будет выходить из границ этого интервала.
Рассмотрим изменение А,(!) с температурой. Найдем производную: 'А,(т) ВС вЂ” 2А71 У 1, ! ! ! Ат тт = (С+ щ' (ахг+Атз4 бзг) 1,'=(С ')гт)г где величина К не зависит от температуры. Мы видим, что Аг(!) изменяется монотонно, ибо ее производная нигде не меняет свой знак. Значит максимальное значение Аг(г) может соответствовать лишь одному из концов рассматриваемого температурного интервала. Поэтому практически проще всего поступать так: найти величину ахт„„„ из условия А, = =О, при 7=1,„ и при ! =! „, и из двух найденных значений: й 331 3!ЕТОД ЭЛЕМЕНТАРНЫХ БАЛАНСОВ 341 )=3 000 кг/жз. Требуется найти изменение температуры во времени в цент е куба.
азбиваем куб тремя системами взаимно перпендикулярных плоскостей на 64 малых куба с длиной ребра йх = Ьу= бл = О,! м. Расчетная схема дана на фнг. 192. Расчетными точками, которые обозначены на схеме цифрами, являются места пересечения разбивки. В силу симметрии достаточно рассмотреть только одну восьмую часть куба, выделенную тремя взаимно перпендикулярнымн плоскостями, проходящими через центр. Буквой Ге обозначены точки, расположенные на поверхности, оли- Мантр нуйа Фиг. 192. Пример разбивки тела на элементарные пзраллелепипеды. паковые номера соответствуют точкам, температуры которых из соображений симметрии равны между собой. Находим значения Г!г, соответствующие наибольшей (Г= 1 000) и наименьшей (т= 0) температурам, входящим в начальные н граничные условия: т (С+ )ЭГ„,„) (2А+ Вг,„) ( 1,+ 1я+ 1,,) 3 000 (0,22 + 0,0001 ° 1 000) 1 1 ! — 0,246 часа.
! (2.!о — 0,00! ! 000) ~ — „+ „„) Т (С+ Г ГмГв) 3000 0 22 — 202300- ---0,1! часа. /1 1 1Г (2.А+ВстГп)( 0 з+а — +— Из полученных значений выбираем наименьшее, т. е. ЬГ.=О,!1 чаев, ВЫчисдяем ЗГГадения функпий В'„, %'„. Вж М(Г), В(1). ОТДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ [г,. та 342 Поскольку бл= бу= бл, то справедливо равенство: )Р»=)ьу=)гг=-% = а(А+2 Вт)= бг 1 0,11 3 000 0,1а (10 0'0036 т) 0,0366 — 0,0000128 й М(т) =0,22+ 0,0001 й )с(т)=1 — 2 3 — ' —— 0,0366 — 0,00001281 0,22 — 0,00001681 0,22+ 0,0001 т 0,22+ 0,0001 т Значения зтих функций для удобства расчета на фиг. 193 представ.
лены графически (для функций )р н я на графике построена непосредственно входящая в расчетную формулу величина их произведения оа температуру). 3 '.г 4 г:» 3 ге ,' г гдо 400 бно ВПО ГООО с гб Фиг. 193. Вспомогательные расчетные функции )г'(!),)г'(т) 1 и )7(т).К Находим расчетные формулы для всех точек. Первый индекс при температуре обозначает нумерацию точки по фнг. 192: 6 ЪГ(тт)гт тп,ьйг =)((1) т + -- — -,— -Й()г) 'агой =7" ('»'+ Л(та) + др(т) 4~Г(тз)тг Ю (С1)й М (13) МЕТОД ЭЛЕМЕНТАРНЫХ БЛЛАНСОВ З4З 2 )Т (т )т 2)Тг(44)14 тза4 д, = 77 ()з)та+ у! ) + 4((4) 3 )Тг(тз) т 44;+б.=)с('4)'44- й((),) Дальнейшее вычисление производится простой полстановкой в соответствующие формулы значений ()7(т) й %' (!) т и .а((т), взятых в зависимости от температуры на фнг.
193. Например, так как дляс=О 44 з-т,=тз — 1000'С и для этой температуры по графику 77(т).4=553 В'(4)4= 23,8 и )с (т) = — 0,32, то 4 23,8 23,8 тх-.+о,ы — 553 -1- 0 32 — + о— 32 — 925. Вычисление удобно произвоаить без записи промежуточных данных пользуясь лишь логарифмической линейкой и счетами. Результаты под счетов сводим в табл. к9: Таблица 2й т„с ~ йс тп сс с, час 0,00 1 000 0,11 1 000 0,22 982 0,33 946 0 44 ' 891 На фиг. 194 сплошной линией нанесено найденное нами изменение температуры в центре куба (точка 7) в зависимости от времени. Там же для сравнения пунктиром нанесены результаты аналитического решения в следующих предположениях; 1.
Температуропроводность и =0,015!5, что соответствует наинизшей температуре т= 0'С (кривая 7). 2. Тенпературопроводность вычислена как средняя арифметическая между ее значеннянн, соответствующими крайним температурам: а = .(' о — ~::)ою = — - ...= 0,00914 (кривая 2). и -! а 4 0,01515-!-0,00313 2 2 3. По среднеинтегральному значению температуропроводности: 1 Г 1(т) а = — 3! — — 471= 0,00848 (кривая 3). с(!)1 4. По значению температуропроводности, а =0,00802 (кривая 4) соответствующему температуре, вычисленной как средняя арифметичес.
Каи из крайних температур. 0,55 ' 810 0,66 ( 703 0,77 ; 578 0,88 ! 449 0,99 ' 324 1,10 230 1,21 163 1 000 925 843 749 645 53' 430 329 247 !43 108 1 000 851 709 574 454 354 275 212 164 124 96 68 1 000 776 580 426 315 238 179 140 108 84 63 48 Е44 Отделън!яе злдАчи теплопегедАЧИ 1гл 12 гоо с1 ъ во го о дг оь ов ов т йг чае Фиг. 1й4. Сопоставление кривых изменения температуры в блоке. 5. Температуропроводность а=О,ООЗ!3, что соответствует наивысшей температуре Г= 1 000'С (кривая 51.
Из сравнения вилно, что никаким осреднением температуропроводности нельзя добиться того, чтобы аналитическое решение отражало действительную картину протекания процесса при переменных параметрах, так как изменение величины а меняет лишь темп протекания процесса, оставляя кривые подобными между собой. 54. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НАЛИЧИИ ВНУТРЕННИХ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ .'НАГРЕВАТЕЛИ (а) о,ЫЫт — количество тепла, возникающее в объеме йп И За ВРЕМЯ Ыт1 ВЕЛИЧИНа О, НаЗЫ- вается производительностью источника.
Численное значение этой величины означает количество тепла, возникающее в единице объема за единицу времени, ккал1лсз час; дт — — войт — количество тепла, идущего на увеличе- дт где Я,= ние теплосодержания вещества; Я -.= — 1~Яхт — количество тепла, уходящегО Из обЪ- ема йр, 1. Дифференциальное уравнение. Если внутри тела вследствие превращения какого-либо вида энергии выделяется тепло, то для любого элемента объема тепловой баланс можно представить так: к к41 ткплопговодиость внгтгкнних источников 345 Подставляя эти значения в уравнение (а), получим: !? 4Ьач = с1 — й ой~ — 'л~ЧЙ ойч д! или д8 ! 1 ~2~+ дт ст ст (33) Это и есть дифреренциальное уравнение теплопроводности.при наличии внутренних источников тепла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
