Основы теплопередачи (Михеев М.А.) (1013624), страница 56
Текст из файла (страница 56)
а) Стержень бесконечной длины. При х=О О= = о и Он=С, +Ся; при х=с Π†. О и Ст.е -~Ст.е = О эЗдесь и в дальнейным мы пренебрегаем изменением температуры по сечению стержня, что дает возможность считать поток тепла одномерным. Это соответствует предполоэкеняю, что козффнниент теплопроводности материала в направлении, перпендикулярном оси стержня, бесконечно велик . ,йдэ.
ляО )эти 320 Отдельные зАдАчи теплопегедачн 1гл >я 13) 8 8 -жтоС Следовательно, 8 =/18о, х, аы А, /, У). Имея же в виду, что показатель степени тх является безразмерной величйной, уравнение 13) можно представить в другом, безразмерном виде, а именно: — е а "=у'1К,), 14) где К, =х.т =х 1/ "~ 1~ ъ/ "к". ~ . Г >/ — У > г' У 4 Так как-= — —, то: 3 К 2хя/ аз 2 /а~ д У ПараметромК, определяется характер изменения температуры по длине стержня. В зависимости от его значения, вернее от соотношения определяющих его величин, характер изменения температуры получается различным (фиг.
183). Количество тепла, переданное стержнем в окружающую среду, равняется количеству его через его основание. У~С таз бб о ш гб гб Фнг. 'Г88. Изменение температ> ры по алине стержня из различных материалов. тепла, прошедш Следовательно: Я= — А У' ( ) ккал1час. ода > ~ - ).=. Из уравнения 13) имеем: (=).,—— Да А — жл — ) =1 — Ьо т Е ),= — бо'т. или С, е =О..Последнее справедливо лишь при условии С,=О. Таким образом, С,=О и Си=бе.
(е) Подставляя эти значения в уравнение 12), получаем: ПЕРЕДАЧА ТЕПЛА ЧЕРЕЗ СТЕРЖЕНЬ й 511 321 Подставляя это значение в уравнение (1)„окончательно находим: Я ='А У т зо=йо 1г'а,.Л г С1 ккал/час. (5) б) Стержень конечной длины. Для стержня конечной длины (фнг. 184) дифференциальное уравнение (1) сохраняет силу, но граничные условия изменяются; прн хг О О=й н 8,=С, +С,.
(Ь) 2 /т — 1,+ ( — ) =-а, у' Оь (1) где а,— значение коэффициента теплоотдачн на торце стержня. Из уравнения (2) имеем: 11,=-С, е '+С,е ( — ) =Стена — С,те Подставляя значения (1) н ((с) в уравнение (1), получаем: С, и е "' — С, т е ' = — "-!-(Ст е '+С,.е '). (1) Решая совместно уравнения (11) н (1), определяем нензвестные С, н С,: (1 — — ) е Сг — йо (ш) «г в е — те 1 о (етг е — тг) т1 (1+ — 1) е С, =Ос (и) ет+ е т~+ — -(е™ вЂ” е т') лв 21 М. А. Михеев. Фнг.
184. Тенлопередача через стержень конечной длины. Прн х= — 1 количество тепла яи', подведенное к торцу путем теплопроводностн, передается в окружаюшую среду путем соприкосновения, т. е. отдельные задачи твплопьтсдачи (Г«. 1а 322 После подстановки значений (ш) и (п) в уравнение (2), окончательно получим: ~ — -.1 а«« :«)ет« — см +(1+ ~ ', — тк т~ 8=бо тс е — тс+ ( т1 - ас) т1, (6) Температура на конце стержня может быть найдена из уравнения (6), если положить х=-1'; 2 1 8~=8о „. —, — =«оо ' ' „," ('С) (7) (Ееп+Е ~1) + — "— (Ет1 — Е ~ ) Сптт+ —,аь тг еп т1 или и 'е 1 аа сЬК~ + К«аЬК~ (7') где К,=т1=1 ~у "к и К,= — '-= —— «, 1 ««Г 1 «а Х 1.у с тЛ тГ 1 К, 1 0= — 1'1, = — ь 1 ьч (С,— С,). Гсса т «=0 (о) Подставляя с1ода значения С, и С. из уравнений (ш) и (и), получим: -,,1+. Ш те С =Л т.!.Ьо- — — '- ккал1час.
1+ — .1Ь ец т1 (8) Нетрудно убедиться, что уравнения (3) и (5) являются частным случаем уравнений (6) и (8). 1 а Напомним, что 2 (еме — е ~') = ап тх; — (ет"+ е т" )= сп тх; 2 ете — е = — =1Ь тх и ете е тем— с 1. е +е "' сЬтх Первым слагаемым знаменателя в уравнении (7') учитывается охлаждение боковой поверхности стержня, вторым— торцевой Количество тепла, переданное через стержень в окружающую среду, равно количеству тепла, прошедшего через основание стержня, при х=О. Из уравнения (2) имеем: ПЕРЕДАЧА ТЕПЛА ~!ЕРЕЗ СТЕРЖЕНЬ 898 В тех случаях, когда теплоотдачей с торца стержня можно пренебречь Я" = О), уравнения (6), (7) и (8) сильно упрощаются.
Согласно условию из уравнений (!) и ()с) имеем: (р) Решая уравнение ( ) совместно с уравнением ()!), находим: ,— т1 С =.О ! — О и, — 1 (г) е !-е т1 С =О 2 О,т1 .,— т1 (э) После подстановки этих значений уравнение температурной кривой (2) принимает следующий вид: ! ! т!2-01 — т!к-.01 О Сот!» — 0 о ет1! е-т! !" ! 1 — о сыт ° ( ) При х =! С)т и (х — 7) =1, следовательно, сь т1 (! О) Легко убедиться, что формулы (9), (10) и (11) непосредс ственно получаются из уравнений (6), (7) и (8), если положить в них а, = О. В технических расчетах приближенные формулы (9), (10) и (11) имеют большее применение, чем точные (6), (7) и (8). Пример Зь'.
От трения в подшипнике выделяется так много тепла, что на конце вала диаметром 60 мж установилась температура выше окружающего воздуха на 60'С. Как распределяется температура вдоль вала и какое количество тепла при атом передается через вал, если а! — б ккал/мт час'С и ! =60 ккал/ж часеС и если вал рассматривать, йак стержень бесконечной длины. Согласно уравнению !3) Эс Оа.е где 21е Количество переданного тепла в этом случае согласно уравнению (о) равно: т1 -т1 Я=). 112+6,, =)..т+О !! т1= 1 Ет1+ Š— т1 (!! ) = — О, !)! >п1 Екал/час.
а! ° С! (т'ь тя отдкльнык злдлчи ткплопкгкдлчи 324 Вычислим сначала значение т, которое для круглого стерясня равно/ 6 2 у и, найлем К =х т=2 х. р „— — =-2)'2.х=2,14-х. У1( — — 60 0 Об Следовательно, изменение избыточной темпеРатуРы по валу опреде— я,зч х ляется следующим уравнением 3=60 е 0,01 0,05 0,10 0,2 0,5 и при х= 58,5 52,2 43,5 11,8 оС 35 Количество передаваемого тепла определяется согласно уравнению (5); 3,14 (0,06)т 1',)=). У т" о — 50. — — —. - 2,84 60=24 икал)час. Пример 37.
В компрессорной установке температура воздуха я резервуаре измеряется ртутным термометром, который помещается в железную трубку (гильзу), заполненную маслом (фиг. 185). Термометр показывает температуру конца гильзы, которая ниже температуры воздуха т вследствие отвода тепла по трубке. Как велика ошибка измерения, если показание термометра т) = 100'С, температура у основания гильзы то= 50'С, донца трубки 1= 140 мм, толщина ее степки о = ! мм, козффициент теплопроводности 1 = 50 ахал)м час оС н коэффициент теплоотдачи от сжатого воздуха к трубке а, = = 25 ххах)мтчас оС? Для решения воспользуемся приближенной формулой (10).
В применении к рассматриваемому случаю зта формула принимает вид: тт — то У ) сйтт' (а) где т — истинная температура сжатого воздуха; тс — температура на конце гильзы, показы- ваемая термометром и равная 100'С; то — температура гильзы у основания, рав- ная 50'С. Фиг. 185. К расчету погрешности показа- ния термометра. Иа уравнения (а) имеем: тгс" тт — то сЬ тт — 1 (Ь) Вычислим теперь значение тй так как (!= я а н У= я с( 3, ° / еч / 25 и' 1.3 'т ат 50 0 00! О,!4=3,!4.
то Согласно табл. (49) сЬ (3,14)=11,6. й 62) ПЕРЕДАЧА ТЕПЛА ЧЕРЕЗ РЕБРА 325 Подставив эти значения в формулу (Ь), получим: 100.11,6 — 60 = 104,6'С. Слсловательно, ошибка измерении Ат равна: аг= гу — г~ =- 104,6 — 100 = 4,6'С. Погрешность недопустимо велика. Для снижения ошибки при измерении температуры с помощью термометров, помещаемых в металлические гильзы, согласно формуле (Ь) необходимо: а) гильзу делать из материала с возможно меньшим коэффициентом теплопроводности; б) длину ее брать возможно больше, а толщину г — меньше; в) интенсифицировать теплообмен между трубкой (гильзой) и средой (например, путем оребрення гильзы с внешней стороны) н г) уменьшить падение температуры вдоль трубки (путем наложения тепловой изоляции на прилегающие части резервуара). 62.
ПЕРЕДАЧА ТЕПЛА ЧЕРЕЗ РЕБРА Оребрение поверхности нагрева производится с целью интенсификации теплопередачи. Если оребрение задано и значение коэффициента теплоотдачи известно, то расчет теплопередачи через ребристую стенку никаких затруднений не составляет (см. гл. 7, З 28). другое дело, когда требуется рассчитать само оребрение, т. е. определить наиболее рациональные форму и размеры ребра. Прн этом в задачу расчета входит распределение температуры по ребру, количество снимаемого, тепла. гидравлическое сопротивление, вес и стоимость оребренной поверхностпи нагрева. Кроме того, в зависимости от назначения ребристых поверхностей к ним обычно предъявляется ряд дополнительных требований. В одних случаях требуется, чтобы габаритные размеры теплообменника былиминимальны, в других, чтобы минимальным был вес, в третьих, чтобы использование материала было наиболее эффективным и др.
В полном объеме такая задача может быть разрешена только на основе эксперимента и то лишь в том случае, если заданы конкретные условия работы поверхности нагрева и предъявляемые к ней требования. Вместе с этим имеются и математические решения задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
