Основы теплопередачи (Михеев М.А.) (1013624), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Кондратьев назвал этот режим регулярным, он создал теорию регулярного режима и дал ряд способов использования этой теории для решения практических задач (подробнее см. $33). По упрощению расчета нестационарной теплопроводности имеется много предложений, но сущность их, как правило, сводится к раздельному рассмотрению режимов. В большинстве случаев это — метод регулярного режима в различной трактовке. В последнее время значительные успехи имеются в части разработки экспериментальных методов решения. Эти методы могут быть использованы для решения любой задачи нестационарной теплопроводности и имеют целый ряд преимуществ.
Их можно применять для тел любой формы и при любом задании краевых условий (при аналитическом же решении краевые условия должны задаваться в виде аналитических зависимостей). В. С. Лукьянов [57] разработал метод, основанный на аналогии между явлениями распространения тепла и ламинарного движения жидкости (метод гидротепловой аналогии).
Л. И. Гутенмахер [!8) разработал метод, основанный на аналогии между тепловыми и электрическими явлениями (метод элекгротепловой аналогии). 3. Необходимость расчета теплообмена при нестационарном режиме определяется его значимостью в рабочем процессе рассчитываемого агрегата. Так, например, в работе паровых котлов и большинства аппаратов электростанций нестационарный режим возникает лишь при пуске в работу, выключении и изменении режима работы и имеет временный характер. Поэтому расчет таких аппаратов производится лишь для основного, стационарного режима, а для нестационарного они совсем не рассчитываются. В работе же нагревательных печей, наоборот, нестационарный режим является основным, при их расчете приходится определять время, необходимое для прогрева металла до заданной температуры, или температуру, до которой металл нагреется в течение определенного промежутка времени.
32. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ Дифференциальное уравнение теплопроводности для твердых тел — уравнение Фурье — имеет следующий вид.' дг д1г дм ди д~ (дЗ+ дуг+ дгг) ([) Для аналитического решения этого уравнения необходимо задание следующих краевых условий: а) начальное распре- лнллитическое Решение й 321 229 деление температуры в теле и б) действие на поверхность окружающей среды. Последнее условие может быть задано тремя способами. По первому способу задается температура поверхности 1, графически это условие выражается заданием точки А (фнг. 123,а) Количество тепла ИЯ, проходящее через элемент ь11 Вв ! в,~й а) б) Ф чвнг.
123. Графическая интерпретация трех способов звхвния граничных условий. поверхности схг", при этом не известно; графически это' вы= ражается тем, что неизвестен наклон температурной кривой в дт 'т теле около поверхности, т. е. угол вр(1й31= — — ), нбо содл ) ' глйсно закону Фурье для любого момента времени количество тепла, притекающее изнутри тела к поверхности, равно: ар= — Л,„д — 'ЫЕ (а) По второму способу, наоборот, задается количество тепла, проходящего через поверхность (т. е.
в конечном счете угол Чв), но неизвестна ее температура в (фиг. 123,б), т. е. положение точки А. Наконец, по третьему способу задается температура окружающей среды ту и коэффициент теплоотдачи между средой и поверхностью а. Так как для количества тепла ИЯ, притекающего изнутри и переходящего от поверхности в окру- 23О теплОНРОНОлнОсть НРи нестАционАРном !'е2кпяе [Га А жающую среду, помимо выра>кения (а) может быть написано е2це выражение, основанное на уравнении Ньютона: й!,! = а (~ — ~у ) ЫР, (Ь) то из сопоставления уравнений (а) и (Ь) имеем; (2) Уравнение (2) является математической формулировкой граничного условия 3-го рода. Из фиг. 123,е имеем: д 2 АС га! 2Г 2!а 3 со- а (с) Следовательно, условием 3-го рода определяется точка О, через которую должны проходить все касательные к температурной кривой в точке, лежащей на поверхности тела.
Точка О называется напраелаюгцеи и лежит она на расстояса! нии э = — — от поверхности. Таким образом, е является пода касательной к температурной кривой; от формы поверхности она не зависит, размерность ее м,. Обратная величина а — = — =й 1/м 2 1, называется относительным коэффициентом 2пеплоотдачи, размерность его м '. Все выведенные соотношения справедливы как для стационарных, так и нестационарных режимов с той разницей, что в последнем случае краевые условия должны задаваться в виде функций от времени. В результате решения дифференциального уравнения (1) должна быть найдена такая функция, которая одновременно удовлетворяла бы этому уравнению и краевым условиям: Решение уравнения (1) производится с помощью рядов Фурье.
Для различных краевых условий результаты получаются различными, но методология решения в основном одинакова. Лля технических целей в большинстве случаев, можно ограничиться рассмотрением течения процесса лишь в одном каком-либо направленчи х. В этом случае общее решение имеет следующий вид: для плоской стенки: 00 — аа!а '.
2 ~ =. бх+ с+2~А„(соз та х+ р„е1п т„х) е (3) АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ й 321 281 и для.цилиндрической стенки: СО г = 5|п г+ с+~~~ А„|У (т„г)+ р„у (т„г)1 е, (4) где у, н у„— Бесселевы функции первого и второго порядка. Постояйные Ь и с определяются из условий стационар- ности режима (при Т=ОО); р„и т„— из граничных и А„— из начальных (при т=-О) условий. Из-за громоздкости математических операций подробное изложение решений в рамках учебника невозможно; довольно подробное изложение их имеется в книгах Гребера и Эрка [151 и А. В. Лыкова 1581. Здесь же мы ограничимся рассмотрением лишь копечных результатов решения для плиты, цилиндра и шара в случае внезапного изменения температуры среды.
Из уравнений (3) и (4) следует, что искомая функция зависит от болыпого числа переменных. Однако, при более глубоком анализе решений оказывается, что зти переменные можно сгруппировать в три безразмерных комплекса: аУ ат х — и —. м т ' Эти комплексы являются критериями подобия| онн получаются из уравнений (1) и (2): аь — = В!'- Тритерий Био, 1ст аа -—, ' = ро-критерий Фурье р и~ — = 1:критерий геометрического подобая. На основании второй теоремы подобия 1см. гл. 2, 5 9) а искомая функция в виде безразмерной температуры ас может быть представлена в виде следующей зависимости: „-==Ф(Вь', го, А). (5) Для всех подобных между собой процессов функция Ф одинакова. а) П л о с к а я с т е н к а. Пусть толщина неограниченной плоской стенки составляет 2 5(1 = 5).
Если за начало отсчета температуры принять температуру окружающей среды 1 и 232 тБплОпРОводность пРИ нестАционАРном Режиме 1гс 8 избыточную температуру стенки обозначить буквой 6=ив У вЂ” 8„, то дифференциальное уравнение (1) принимает вид: дЭ д8Э дс дх8 ' (е) Граничные условия: прн х= + Э да 8Э дх и начальное условие: при 8 †. О При решении технических задач в большинстве счучаев достаточно знать температуру на поверхности Э и в средней плоскости стенки 98. В этом случае уравнение (5) упрощается, ибо аргумент 7. становится постоянным числом (при х=О 7.=6 и при х=д 7.
= 1), Следовательно, -,-=Ф (Вг', Ро,) (6) Э,' =Ф (ВА, Ро). (7) О, —; = Ф, (Вг', Го), (8) зависимости (6), (7) и (8) приведены на фиг. 124, 125 и 126 в виде графиков. При определении искомых величин необхоаз димо сначала вычислить значения критериев Вд= — и Ро = ст а~ Ос = —,, по которым из графиков определяются —, и ' .
Так Э' О как 9' и Я' известны, то легко вычисляются н значения, Эч, 6 ид. Кроме распределения температур часто требуется знать количество тепла Я , переданное за время е. Оно определяется по изменению теплосодержания тела и равно начальному теплосодержанию Я'=2ЭТСЭ' ккал1м8, умноженному Э на относительное изменение средней температуры тела, ",' Э за время т. Следовательно, относительное изменение тепло- содержания является также функцией только двух критериев В1, Во: ЛНЛЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ 233 й 32) д/У 'О чч оотг о„г 5, г 5 то — В =пдУЛоа а Фиг.
124 йг =)'(Вйро) для плоской неограниченной стенки. /,о Оч'у' ,г 5д, г 5йнг 5о,г 55 г 5~од с(о о.= Фс ое Фиг. !25. ~, — 5 (Вйго) для плоской неограниченной степки, 1 ЦБ пиал г наи дат ' й1 г 5 г 5 г 5 г 5 г 5 г 5 -Ь г и А'де~ Фиг. 126. —,=г(Вйро) для плоской неограниченной стенки ' 1г' 234 тепло!!Роводность пги нестлцнонагноы Режиме [1'л а Фиг.
127. Изменение температурного поля при охлаитлении плоской неограниченной стенки. а„, ту — т,„ ао ту — та ат ! — г У (9) где 1 — температура окружающей среды; 1' — начальная температура тела; 1„ — температура поверхности; 1о — температура в средней плоскости тела. Приведенные данные применимы как для охлаждения, так и нагревания, а так же как для двухсторочнего, так и одностороннего процессов.
В последнем случае о будет означать полную толщину стенки. б) Цилиндр. Для бесконечно длинного цилиндра с радиусом Й дифференциальное уравнение теплопроводности имеет следующий вид: По этим данным приближенно можно построить всю кривую распределения температуры в теле, пользуясь тем, что направление каса!,в Г=д тельных к этой кривой в // известно в трех точа' "' Ф ках (фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
