Основы теплопередачи (Михеев М.А.) (1013624), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Для шара эта функциональная зависимость представлена на фиг 136. Физически ф означает отношение средней температуры по поверхности тела Ь„ к средней температуре по объему, йг, т. е. ф = —. Поэтому ф можно называть критерием неравномерности температурного пола. Если распределение температур в теле равномерное, то 1!=1; чем больше 1! отличается от 1, тем больше неравномерность температурного поля тела; наконец, когда 4! = О, распределение температур Так как 9 убывает, стремясь к нулю (при г о Ь 0), то прямые на фнг. 135 всегда имеют отрицательный угловой коэффициент. Поэтому, если ~, ) хь то 9' ) йе и т ) О.
Формула (10) дает способ определения из опыта числа т; для этого необходимо измерять значение 9 для двух моментов времени ~! и х,. Практически обычно в полулогарифмической анаморфозе по точкам строится кривая охлаждения 1пб= =у(х), при этом т является тангенсом угла наклона прямолинейной части кривой к оси абсцисс. Разработанная проф. Г. М. Кондратьевым [421 теория регулярного режима позволяет указать общий метод математического решения задачи, применимой к телам любой формы, и установить форму связи между темпом охлаждения т, с одной стороны, и физическими и геометрическими величинами тела и внешними условиями охлаждения а, с другой стороны.
Анализ показывает, что в общем случае значение т определяется следующим уравнением: 244 тгплОпРОцодность пРН нестАнионАРном Режи61е 1 1л 6 Для параллелепипеда со сторонами 1„16 и 1, (е) С целью уточнения и обобщения полученных соотношений их целесообразно представить в безразмерном виде. ПуГ1 тем умножения л6 на — получается безразмерное число: а Здесь 1 озна1ает некоторый размер тела, который связан с характерным размером 16 (например, радиусом) следующим соотношением: (к) Регулярный режим характеризуется наличием функциональной связи между критериями Р и Вг, чтО соответствует установленной выше функциональной зависимосги между т и а [см. уравнение (11)) (вторая теорема Кондрагьева): (13) Р=ф В1.
Так как ф явля'тся также функцн;й В1 (фиг. 136), стремя.цейся к нулю прн возрасгаиии В1, то при В1=ОО правая дсцмтота часть уравнения(13) принимает неопределенный внд (О ОО). ! В силу первойтеоремы Кондратьева 1уравнение (!2)] при В1- О;, когда правая часть уравнения (13) принимает неопределенный вид, значение Р 0 — гн стремятся к некоторому фаг 1зз Р У(вО пРеделУ П, числУ, неРав- иомуннО, ииО6(фнг.138). С величиной К из уравнения (12) число П связано следующим соотношением: П' (Ь) В нек торых случаях удобнее по1ьзоваться другим критерием д, который определяется сле1ующим образом: (1) МЕТОД КСНЕ'1НЫХ РАЗНОСТЕЙ й 341 Имея в виду уравнения (а) и (1), окончательно имеем: р= 1о а/в (14) В!=1(Р) нли Вг =У(р).
(15) Последнее уравнение (15) отвечает на вопрос: при каком значении В1 получается заданный темп охлаждения. Теория регулярного режима может быть применена к решению ряда практических задач и в частности для оценки времени прогревания и охлажд.ния тел. Время т, в течение которого температура в какой-либо точке системы изменится с 8' до Ь", определяется следующей формулсй т= — 1п( — „). (!6) Если известны форма и размеры тела и тепловые параметсы вещества, то значение т могкет быть вычислено теоретически. Далее, основываясь на теории регулярного режима, были предложены новые методы определения тепловых параметров вещества, а, 1ч с, коэффициента теплоотдачн и, коэффициента лучеиспускания С и термических сопротивлений.
Эти методы получили широкое распространение; их преимушеством является простота техники экспериментирования и высокая точность получаемых результатов [43). 34. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ В случае необходимости решения задач нестационарной теплопроводности в практических расчетах часто применяется метод конечных разностей. Этот метод основан на допущении возможности замены непрерывного процесса скачкорбразным как в пространстве, так и во времени.
При этом Преимушество уравнения (13) в том, что вид функции ! и П определяются только формой тела, а влияние размеров исключается. Для тел разных размеров, но одинаковой формы, значения ф и П одни и те же. Другой форме тела соответствуег иное выражение функции 41 и иное значение П.
Влияние формы сказывается на виде аналитического выражения связи между критериями Р и Вг. Чтобы найти вид уравнения (13), необходимо задать форму тела и проинтегрировать основное уравнение теплопрозодности. Подробное изложение этих вопросов имеется в работах Кондратьева 14!1. Вместо уравнения (!3) иногда удобнее бывает пользоваться следующей зависимостью: о4б тьплопговодность нги нкстяционагном гяжщж 1 ~ л а дифференциальное уравнение теплопроводности (1) заменяется уравнением в конечных разностях, которое для одномерного поля имеет следующий вид: зт ач -=и— (17) Практика применения этого метода к расчету плоских, цилиндрических и сферических тел, а также и расчету двухмерного температурного поля впервые была разработана Эрн.
Шмидтом. Рассмотрим этот способ в применении к плоской стенке. Разделим стен. ку на слои одннаковойтолщи- 9,',д "' ' ' ны бх (фиг. ! 39), которые ! ! будем обозначать номерами (и — !), и, (и+1)... Время также разобьем на интервалы ат, О,„ы! ~ ! которые будем обозначать номерами к, (/г+ 1)...
В таком йя.й' ~ ! ~ случае гя, обозначает темпе1 1 ратуру в середине и-го слоя ! 1 в течение всего Й-го промеФнг. 139. Метен конечных разно- жутка времени; температурная стей; условные обозначения н гра- кривая предетавляется ломафяческая ннтерпретапня метояа. Ной линней. Из фиг. !39 следует, что в пределах слоя и температурная кривая имеет два наклона. Следовательно, производная от температуры по координате должна иметь два значения, а именно: тяжн а тя, а ( т'! ьх/+ ах (а) (Ь) Соответственно для второй производной получим следующее выражение: Производная от температуры по времени для слоя и ' имеет следующий вид: / т», «+т ~я, а (б) ат ат й 34] катод коивчных газноствв 247 Подставляя полученные значения (с) и (41) в уравнение (17), имеем: 'а,х4а — ',й ~л~-~,х-1-4а — рх — 24а,х ах Ьх1 или дх ~.,1 .
+ ~. 1 ° 7 л~ Таким образом, зная распределение температур в теле для л-го интервала времени, на основании уравнения (е) можно найти распределение температур для последующего интервала времени (а+1) и т. д. Если интервалы времени бх и размер слоев Ьх выбрать ах так, чтобы 2а —, = 1, то уравнение (е) принимает вид: ! л,х-Ь1 — з ( лака+ а — па). (18) Из уравнения (18) следует, что 1„х, является среднеарифметическим из 1„ь, х и ~„, .
Поэтому техника расчета очень проста; также просто уравнение (18) решается графически. Значение интервала времени йх определяется из следующего соотношения: ах =— ах~ за (19) Если, например, рассматривается бетонная стенка (а=0,002 м'/час) и толщина слоя берется равной 5 сл, то интервал времени Лх получает следующее значение: 2 оооо2 — — 0,625 = 5/8 часа. ьх2 (о 05)з Таким образом, при решении конкретной задачи сначала надо выбрать значение Ьх, удобное для графическогр построения„ затем псстроить начальное распределение темперазур в виде, например, ломзной линии О 1 2 3...
(фиг. 140). Соединяя теперь точку 7 с точкой 3, получают точку 2'; соединяя точку 2 с точкой 4, получают точку 3', и т. д. Для получения точек О' и 1' необходимо учесть влияние внешней среды. Согласно сказан.ому в $ 32 ко~ ец температурной кривой (в нашем случае 1'О') дается соответствующей направляющей точкой Я, ордината которой определяегсн 7едшературой окружающей среды 1у, а абсцис- 243 ттл|аопгово.тность пгп нкстлпиоплгнон Ркжпнк 1 с с а — 1ст са — подкасательной з= ' . Позтомудополнительнонаносится направляющая точка 1г'и параллельно поверхности проводится вспомогательная линия ММ*, отстоищая от нее на расстоянии Ьх —.
Еслисоединить теперьточкуО с направляющей1г,топря- я, соединяющая эти точки, определит на линии МА1 точа. Линия, соединяющая точку а и точку 2, дает точку 1' новой температурной 1 кривой. Последний отрезок 1'0' температург1 ной кривой должен быть найден также по хт направляющей точке Й. т" г Выбрав распределег" ние температур О' 1' 2' 3'...
за начальное, нуж- 6 но повторить описант д1 ное построение. Таким образом, будут найдедхт- ны кривые О" 1" 2' 3" ... 0"' 1сп 2'и 3'и ... ст 1 и т. д. Если при этом значение а в течение процесса изменяется, то это можно учесть ма ку Фнг. 140. Графический способ решении задач нестапионарной теплопроводностн соответствующим изменением положения направляющеи точки Я.
При расчете многослойной стенки температурная кривая должна строиться в масштабе термических сопротивлений, ах т. е. по осн абспигс вместо гах должно быть отложено —. гсщ ' Таким образом, с помощью описанного метода простыми средствами можно решить многие технические задачи нестапионарной теплопроводности при любом задании граничных условий. Слаоое место этого метода в том, что физические параметры тела принимаются постоянными. В этом отношении метод элементарных балансов А. П. Ва-1 ничева [101 ячляется значительным шагом вперед. Он также дает возможность численно решать задачи нестапионарной теплопроводности, но при этом учитывается зависимость физических параметров от температуры. Метод конечных разностей Шмидта является частным случаем этого более общего метода А. П.
Ваничева (подробное описание метода см. в 5 53). е Линия М у необходима дли надод1децид точек 1 1' 1" $35; ОснОВные пОлОження теплОВОГО Расчеть 249 ГЛАВА ДВВЯГАЯ РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕННЫХ АППАРАТОВ 35. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕПЛОВОГО РАСЧЕТА Теплообменным аппаратом называется всякое устройство, назначением которого является передача тепла от. одного теплоносителя к другому.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
