lopt15 (1013515)
Текст из файла
Лекция 156. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть на множестве Ω = [a, b] заданы:{}а) сетка Ω n = x i , i = 0, n , определяемая n + 1 точкой x 0 , x1 ,..., x n , а на сетке задана сеточная функция yi = f ( x i ), i = 0, n :y 0 = f ( x 0 ), y1 = f ( x1 ),..., y n = f ( x n ) ,где x i ∈ [a, b ] = [x 0 , x n ] - в общем случае неравноотстоящие узлы (неравномерная сетка),определяемые шагами hi +1 = x i +1 − x i ( hi +1 = var ), i = 0, n − 1 .
При hi +1 = h = const узлыявляются равноотстоящими (равномерная сетка). Как и ранее будем использовать обозначение f i = f ( x i ) ;б) точки x j сетки Ω n , в которых требуется найти значения производных;в) желаемый порядок t точности (аппроксимации) относительно h .Требуется с заданным порядком точности (аппроксимации) вычислить значенияпроизводных fˆ ( p ) ( x )в точках x сетки, где p – порядок производной.x =xjjИначе требуется получить аппроксимационный оператор fˆ ( p ) ( x j ) , удовлетворяющий условию f ( p ) ( x j ) − fˆ ( p ) ( x j ) ≤ C h t , где C = const , не зависящая от величинышага h .Заметим, что символом «^» здесь и далее обозначаются операторы дифференцирования.З а м е ч а н и я.1.
Если задана точка x* ∈ [a, b] , не совпадающая ни с одним из узлов сетки, то решается либо задача интерполяции заданной сеточной функции, либо задача сглаживанияметодом наименьших квадратов. Полученная функция дифференцируется необходимоечисло раз и затем вычисляется значение производной в точке x * .2. Процедура численного дифференцирования является некорректной, посколькупогрешность округления, возникающая при вычислении разностных отношений, как правило, намного превосходит погрешность в задании значений функции и может даже неограниченно возрастать при стремлении шага сетки к нулю, однако методы численногодифференцирования широко применяются на практике.МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯА.
ПРИМЕНЕНИЕ ДВУХТОЧЕЧНОГО ШАБЛОНАВыберем двухточечный шаблон Ш 2,i = (x i , x i +1 ) на неравномерной сетке Ω n .119Формулы для вычисления первой производной имеют вид:- в левой точке шаблонаf − fifˆi′,v = i +1hi +1⎛ hi +1⎞M 2,i ⎟ ;⎜⎝ 2⎠- в правой точке шаблонаf − fifˆi′+1,v = i +1hi +1⎛ hi +1⎞M 2,i ⎟ ,⎜⎝ 2⎠где hi +1 = x i +1 − x i , M 2,i = max f ′′( x) .x∈Ш 2,iЗ а м е ч а н и я.1.
С помощью разложения функций по формуле Тейлора можно показать, чтоf i′ =f i +1 − f ihi +1−hi +12f ′′(ξ ) ,гдеξ ∈ ( x i , x i +1 ) .Таккаксправедливаоценкаhi +1 ⋅ M 2,ihi +1 ′′h, то отсюда следует формула в левойf (ξ ) ≤ i +1 max f ′′( x ) =22 [ xi , xi +1 ]2точке шаблона. В скобках справа от аппроксимационных операторов здесь и далее указываются правые части оценок их погрешностей.−2. Формулы справедливы и для равномерной, и для неравномерной сеток.
Они аппроксимируют производную с первым порядком аппроксимации.2. Нижние индексы v и c , относящиеся к аппроксимационным операторам, указывают на тип шаблона – нерегулярный ( hi +1 = var ), характеризующий неравномернуюсетку, и регулярный ( hi +1 = const )), характеризующий равномерную сетку.4. Далее в тексте оценочная константа M p ,i = max fx∈Ш p ,i( p)( x)для краткости будет,как правило, использоваться без дополнительного ее описания. В нижнем индексе этойконстанты всюду указывается p – порядок производной.Б. ПРИМЕНЕНИЕ ТРЕХТОЧЕЧНОГО ШАБЛОНАШ 3,iНа равномерной сетке Ω n выбираем трехточечный (двухшаговый) шаблон= (x i −1 , x i , x i +1 ) , характеризующийся шагом h = const .Формулы для подсчета первой производной:- в левой крайней точке1(− 3 f i −1 + 4 f i − f i +1 )fˆi′−1,c =2h120⎞⎛ h2⎜M 3,i ⎟ ;⎟⎜ 3⎠⎝- в центральной точке⎛ h2⎞M 3,i ⎟⎟ ;⎜⎜⎝ 6⎠1fˆi′,c =( f i + 1 − f i −1 )2h- в правой крайней точке1( f i −1 − 4 f i + 3 f i + 1 )fˆi′+1,c =2hгде M 3,i = max f ′′′(x ) .⎛ h2⎞M 3,i ⎟⎟ ,⎜⎜⎝ 3⎠x ∈Ш3,iФормула для подсчета второй производной имеет вид:1fˆi′,′c = 2 ( f i −1 − 2 f i + f i +1 )h⎛ h2⎞M 4,i ⎟⎟ .⎜⎜⎝ 12⎠Пример 1.
Дана сеточная функция (табл. 1), являющаяся сеточным представлени1ем формульной функции y (x ) = .xixifi011,00000011,20,8333333321,40,714285731,60,6250000Таблица 1451,82,00,55555550,500000Заданы также порядок t = 2 относительно шага h , который необходимо обеспечить при решении задачи, и точка x j = 1,4 .Требуется вычислить значение первой производной f ′(1,4 ) и второй производнойf ′′(1,4 ) с помощью различных шаблонов и соответствующих формул. Воспользуемся вышеприведенной методикой.1. Так как шаг задания сеточной функции постоянный h = xi +1 − xi = 0,2 , точкаx j = 1,4 находится внутри сетки Ω n , то для вычисления производной в этой точке выбирается формула, имеющая второй порядок аппроксимации относительно шага h . Приэтом центральная точка шаблона совпадает с точкой x j = 1,4 .2. Выберем трехточечный шаблон x 3,i = (xi −1, xi , xi +1 ) = (1,2; 1,4; 1,6) , в которомxi = 1, 4 ( i = 2 ); x i −1 = 1, 2 ( i − 1 = 1) ; x i +1 = 1, 6 ( i + 1 = 3) .
В данном шаблоне центральная точка xi = 1, 4 , что соответствует центральному типу аппроксимационной формулы.3. Подсчитаем искомое значение производной по формуле:f − f i −1 0,6250000 − 0,8333333=.fˆi′,c = i +12h2 ⋅ 0, 2Для вычисления первой производной можно было использовать и другие формулы.При выборе шаблона Ш 3,i = ( x i −1 , x i , x i +1 ) = (1, 4; 1, 6; 1,8) имеем1211(− 3 fi −1 + 4 f i − fi +1 ) = 1 [− 3 f (1,4) + 4 f (1,6) − f (1,8)]=f ′(1,4) = fˆi′−1,c =2h2h1[− 3 ⋅ 0,7142857 + 4 ⋅ 0,625 − 0,5555] = − 0,496017.=2 ⋅ 0,2− 0,496017 − 0,510204 ≅ 0,0142 ,Фактическая абсолютная погрешность составляетотносительная погрешность равна 2,78%.Если выбрать шаблон Ш 3,i = ( x i −1 , x i , x i +1 ) = (1; 1, 2; 1, 4) , то получаем1( f i −1 − 4 f i + 3 f i +1 )= 1 [ f (1) − 4 f (1,2) + 3 f (1,4)] =f ′(1,4) ≅ fˆi′+1,c =2h2 ⋅ 0,21[1,0 − 4 ⋅ 0,83333 + 3 ⋅ 0,7142857] = − 0,476187.=0,4Фактическая абсолютная погрешность равна − 0,476187 − 0,510204 ≅ 0,03401 , относительная погрешность составляет 6,66%.Для вычисления второй производной можно взять формулуна шаблонеШ 3,i = ( x i −1 , x i , x i +1 ) = (1, 2; 1, 4; 1, 6) :1( f i −1 − 2 f i + f i +1 ) = 1 2 [ f (1,2) − 2 ⋅ f (1,4) + f (1,6)] =fˆi′,′c =2h0,2=1[0,8333 − 2 ⋅ 0,7142857 + 0,625] = 0,743965.0,04Точное значение f ′′(1,4) =2= 0,7288629 .
Фактическая абсолютная погреш1,43ность равна 0,0151, относительная погрешность 2,07%. В. ПРИМЕНЕНИЕ ЧЕТЫРЕХТОЧЕЧНОГО ШАБЛОНАНа равномерной сетке Ω n выбираем четырехточечный (трехшаговый) шаблонШ 4,i = ( xi − 2 , x i −1 , xi , x i +1 ) с шагом h .Формулы для вычисления первой производной с третьим порядком аппроксимацииимеют вид:1(− 11 fi − 2 + 18 f i −1 − 9 f i + 2 f i +1 )fˆi′− 2,c =6h1(− 2 f i − 2 − 3 fi −1 + 6 fi − f i +1 )fˆi′−1,c =6h1( f i − 2 − 6 f i −1 + 3 fi + 2 fi +1 )fˆi′,c =6h1(− 2 fi − 2 + 9 fi −1 − 18 f i + 11 f i +1 )fˆi′+1,c =6h122⎛ h3⎞⎜ M 4,i ⎟ ,⎜ 4⎟⎝⎠3⎛h⎞⎜ M 4,i ⎟ ,⎜ 12⎟⎝⎠⎛ h3⎞⎜ M 4,i ⎟ ,⎜ 12⎟⎝⎠⎛ h3⎞⎜ M 4,i ⎟ .⎜ 4⎟⎝⎠Формулы для вычисления вторых производных со вторым порядком аппроксимации имеют вид:⎛ 11h 2⎞⎜M 4,i ⎟ ,⎜ 12⎟⎝⎠1fˆi′−′ 2,c = 2 (2 f i − 2 − 5 f i −1 + 4 f i − f i +1 )h⎛ h2⎞⎜M 4,i ⎟ ,⎜ 12⎟⎝⎠⎛ h2⎞⎜M 4,i ⎟ ,⎜ 12⎟⎝⎠1fˆi′−′1,c = 2 ( f i − 2 − 2 f i −1 + f i )h1fˆi′,′c = 2 ( f i −1 − 2 f i + f i +1 )h⎛ 11h 2⎞⎜M 4,i ⎟ .⎜ 12⎟⎝⎠1fˆi′+′ 1,c = 2 (− f i − 2 + 4 f i −1 − 5 f i + 2 f i +1 )hГ.
ПРИМЕНЕНИЕ ПЯТИТОЧЕЧНОГО ШАБЛОНАНа равномерной сетке Ω n выбираем пятиточечный (четырехшаговый) шаблонШ 5,i = ( x i − 2 , x i −1 , xi , x i +1 , x i + 2 ) с шагом h .Формулы для вычисления первых производных с четвертым порядком имеют вид:⎛ h4⎞⎜M 5,i ⎟ ,⎜ 5⎟⎝⎠1(− 25 f i − 2 + 48 f i −1 − 36 f i + 16 f i +1 − 3 f i + 2 )fˆi′− 2,c =12h1(− 3 fi − 2 − 10 f i −1 + 18 f i − 6 f i +1 + fi + 2 )fˆi′−1,c =12h⎛ h4⎞⎜M 5,i ⎟ ,⎜ 20⎟⎝⎠1( f i − 2 − 8 fi −1 + 8 fi +1 − f i + 2 )fˆi′,c =12h⎛ h4⎞⎜M 5,i ⎟ ,⎜ 30⎟⎝⎠1(− f i − 2 + 6 f i −1 − 18 fi + 10 f i +1 + 3 f i + 2 )fˆi′+1,c =12h⎛ h4⎞⎜M 5,i ⎟ ,⎜ 20⎟⎝⎠1(3 fi − 2 − 16 f i −1 + 36 fi − 48 fi +1 + 25 fi + 2 )fˆi′+ 2,c =12h⎛ h4⎞⎜M 5,i ⎟ .⎜ 5⎟⎝⎠Формулы для вычисления вторых производных с третьим порядком имеют вид:fˆi′−′ 2,c =fˆi′−′1,c =112h 2112h 2(35 fi − 2 − 104 fi −1 + 114 fi(11 fi − 2 − 20 fi −1 + 6 fi123− 56 f i +1 + 11 f i + 2 ) ,+ 4 f i +1 − f i + 2 ) ,fˆi′,′c =112h 2fˆi′+′ 1,c =fˆi′+′ 2,c =(−112h 2112h 2f i − 2 + 16 f i −1 − 30 f i + 16 f i +1 − f i + 2 ) ,(−f i − 2 + 4 f i −1 + 6 f i − 20 f i +1 + 11 f i + 2 ) ,(11 fi − 2 − 56 fi −1 + 114 fi− 104 f i +1 + 35 f i + 2 ) .Формулы для вычисления третьих производных в точке x i имеют вид:1fˆi′′′,c = 3 ( − f i − 2 + 3 f i −1 − 3 f i + f i +1 ) ,h1fˆi′′′,c = 3 ( − f i −1 + 3 f i − 3 f i +1 + f i + 2 ) ,h1fˆi′′′( − f i −2 + 2 f i −1 − 2 f i +1 + f i +2 ) .,c =2h 3Первые две формулы аппроксимируют третьи производные с первым порядком,а третья # со вторым.7.
МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯПОСТАНОВКА ЗАДАЧИЕсли функция f ( x) непрерывна на отрезке [a, b] и известна ее первообразнаяF ( x) , то определенный интеграл от этой функции может быть вычислен по формулеНьютона–Лейбницаb∫a f ( x)dx = F (b) − F (a) ,где F ′( x) = f ( x) .Однако во многих случаях возникают большие трудности, связанные с нахождением первообразной, или эта задача не может быть решена элементарными способами.
На2пример, в элементарных функциях не выражается интегралdx∫ ln x .1Кроме того, в вычислительной практике часто требуется находить значения определенных интегралов от сеточных функций, заданных в общем случае на неравномернойсетке Ω n = {x 0 , x1 ,..., x n }, xi +1 = xi + hi +1 , i = 0, n − 1, hi +1 = xi +1 − xi .В связи с этим в численном анализе имеется специальный математический аппаратчисленного интегрирования, отличный от соответствующего аппарата математическогоанализа.Пусть на отрезке [a, b] на равномерной сетке Ω n ( hi +1 = h = const ) или на неравномерной сетке Ω n = {x 0 , x1 ,..., x n } ( hi +1 = x i +1 − x i = var ) заданы:124а) сеточная функция y i = f ( xi ), i = 0, n , своими значениями f i = f ( xi ) или сеточноепредставление формульной функции y = f ( x) ;б) желаемый порядок t точности (аппроксимации) относительно величины шагаh.Требуется с заданным порядком точности вычислить значение интегралаIˆab ≅ I ab =b∫ f ( x) dx .aИначе требуется получить аппроксимационный оператор интегрирования Iˆab ,удовлетворяющий условию Iˆb − I b ≤ C h t , где C = const , не зависящая от h .aaОтметим, что символом «^» здесь и далее обозначаются операторы интегрирования.Одним из классических методов вычисления определенных интегралов являетсяприменение функциональных квадратурных формулI abb=∫f ( x)dx ≅N∑ q j f ( x j ) ≡ Iˆab ,j =1aгде q j – весовые коэффициенты; x j , j = 1, N ,– некоторые точки отрезка [a, b] ; N – числоточек (узлов квадратурной формулы).Квадратурная формула называется точной для многочленов степени m , если призамене функции f ( x) на произвольный алгебраический многочлен степени не выше mприближенное равенство становится точным.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
