lopt17 (1013518)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 17Б. НЕЯВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙБ1. Неявный метод ЭйлераФормула неявного метода Эйлера первого порядка точности:yˆi +1 = yˆi + hi +1 f ( x i +1 , yˆi +1 ) ≡ Φ( x i , x i +1 , yˆi +1 ) , i = 0, n − 1 .Подчеркнем, что свойство неявности схемы обусловлено наличием искомойвеличины ŷi +1 в левой и правой частях в общем случае нелинейного уравнения. Можнопоказать, что неявный метод Эйлера обладает свойством А-устойчивости. Приреализации алгоритма решения задачи Коши неизвестное значение ŷi +1 вычисляетсяодним из методов решения нелинейных уравнений. Применение метода Ньютона связанос записью уравнения в формеyˆi +1 − Φ( x i , x i +1 , yˆi +1 ) ≡ F ( yˆi +1 ) = 0и с дифференцированием функции F ( yˆi +1 ) , что увеличивает время расчетов из-завозможной сложности вычисления производных.Как правило, используется метод простых итераций:yˆi(+k1+1) = Φ( x i , x i +1 , yˆi(+k1) ) , k = 0,1,....При применении методов Ньютона и простых итераций вначале задается илинаходится нулевое приближение решения по формуле yi(+01) = yˆi (так называемый«постоянный» прогноз) или явным методом Эйлера:yˆi(+01) = yˆi + hi +1 f ( x i , yˆi ) .Итерации завершаются при выполнении условия окончанияyˆ i(+k1+1) − yˆ i(+k1) ≤ ε ,где ε – малое положительное число.Б2.

Метод трапецийФормула метода трапеций - неявная одношаговая схема второго порядкаточности:yˆi +1 = yˆi +hi +12[ f i + f (xi +1 , yˆi +1 )] ≡ Φ(xi , xi +1 , yˆi +1 ) , i = 0, n − 1 ,144где f i = f ( x i , yˆi ) . Подчеркнем, что свойство неявности схемы обусловлено наличиемискомой величины ŷi +1 в левой и правой частях в общем случае нелинейного уравнения.Неизвестное значениеŷi +1 вычисляется одним из методов решения нелинейныхуравнений. Можно показать, что метод трапеций является А-устойчивым.Б3.

Методы Адамса–МултонаМногошаговые неявные схемы Адамса–Мултона:– первого порядка (неявный метод Эйлера);– второго порядка (метод трапеций);– третьего порядка:hyˆi +1 = yˆi + [− f i −1 + 8 f i + 5 f ( x i +1 , yˆi +1 )] ,12i = 1, n − 1 ;– четвертого порядка:hyˆi +1 = yˆi +[ f i − 2 − 5 f i −1 + 19 f i + 9 f ( x i +1 , yˆi +1 )] , i = 2, n − 1 ;24иhyˆ i +1 = yˆ i −1 + [ f i −1 + 4 f i + f ( x i +1 , yˆ i +1 )] , i = 1, n − 1 (неявная схема парабол);3– пятого порядка:yˆ i +1 = yˆ i +h[−19 f i −3 + 106 f i − 2 − 264 f i −1 + 646 f i + 251 f ( x i +1 , yˆ i +1 )] , i = 3, n − 1 .720где f i = f ( x i , yˆ i ), f i −1 = f ( x i −1 , yˆ i −1 ), f i −2 = f ( x i −2 , yˆ i −2 ), f i −3 = f ( x i −3 , yˆ i −3 ) .Для расчетов по формулам требуется получить соответствующее число«разгонных» точек.

Чтобы найти искомое значение ŷi +1 , так же как в неявном методеЭйлера и методе трапеций, требуется решить в общем случае нелинейное уравнение.З а м е ч а н и е. Среди неявных также получили распространение методы Гира,Милна, Хемминга, Рунге–Кутты [3].145.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций