lopt14 (1013513)
Текст из файла
Лекция 14 (продолжение лекции 13)МЕТОДЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯА. ТОЧЕЧНЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ МНОГОЧЛЕНОВ{}Пусть на множестве Ω = [a, b] задана сетка Ω n = x i , i = 0, n , определяемаяn + 1 точкой x 0 , x1 ,..., x n , а на сетке задана сеточная функция yi = f ( x i ), i = 0, n :y 0 = f ( x 0 ), y1 = f ( x1 ),..., y n = f ( x n ) .Как и ранее, будем использовать обозначение f i = f ( x i ) .На практике сглаживающую функцию удобно представить в виде обобщенногомногочленаf m ( x, a ) =m∑ajϕ j ( x) = a 0 ϕ 0 ( x) + a1 ϕ1 ( x) + ... + a m ϕ m ( x) ,j =0где a = {a0 , a1,...,am }T – вектор неизвестных коэффициентов, {ϕ j } = {ϕ 0 , ϕ1 ,..., ϕ m } –заданная система базисных функций, степень многочлена удовлетворяет условию0 ≤ m ≤ n . В качестве базисных функций могут выбираться, например, степенныефункции {ϕ j } = { x j } , многочлены Чебышева, тригонометрические функции{ϕ j } = {cos jx } .
Требуется найти такие коэффициенты многочлена a0 , a1 ,..., am ,обеспечивающие минимум среднеквадратичной погрешности:δm ( a ) =1 n.[ f m ( xi , a ) − f i ] 2 → a minn + 1 i =00 , a1 ,...a m∑т.е. такой вектор a = {a0 , a1 ,..., am }T , который обеспечивает минимум величиныδm ( a ) .В соответствии с постановкой задачи найдем коэффициенты a0 , a1 ,..., amмногочлена, обеспечивающие минимум критерия.Очевидно, минимум критерия достигается, еслиΔ=n∑ [ ϕ0 ( xi ) a0 + ϕ1 (xi ) a1 + ... + ϕm ( xi ) am − f i ] 2 → a ,mina ,...ai =001.mТак как на коэффициенты не наложено никаких ограничений, применимнеобходимые условия безусловного экстремума:∂Δ= 0,∂ajj = 0,1,..., m .В результате получаем систему111n∂Δ= 2 ∑ [ ϕ 0 ( x i ) a0 + ϕ1 ( x i ) a1 + ...
+ ϕ m ( x i ) am − f i ] ⋅ ϕ 0 ( x i ) = 0 ,∂ a0i =0n∂Δ= 2 ∑ [ϕ 0 ( x i ) a0 + ϕ1 ( x i ) a1 + ... + ϕ m ( x i ) am − f i ] ⋅ ϕ1 ( x i ) = 0 ,∂ a1i =0...................................................................................................n∂Δ= 2 ∑ [ ϕ 0 ( x i ) a0 + ϕ1 ( x i ) a1 + ... + ϕ m ( x i ) am − f i ] ⋅ ϕ m ( x i ) = 0 .∂ ami =0Для компактной записи полученного результата удобно использовать скалярноепроизведение.Скалярным произведением функций ϕ k (x ) и ϕl (x ) на множестве точек{x , i = 0, n }называется сумма произведений значений функций, вычисленныхвсех точках, т.е.i(ϕ k , ϕl ) =воn∑ ϕ k ( x i ) ϕl ( x i ) .i =0Число ϕ k = (ϕ k , ϕk ) называется нормой функции ϕ k (x ) на множестве точек{ x , i = 0, n } .iТогда полученную систему можно переписать в форме:(ϕ 0 , ϕ 0 ) a0 + (ϕ 0 , ϕ1 ) a1 + ...
+ (ϕ 0 , ϕ m ) am = ( f , ϕ 0 ) ,(ϕ1 , ϕ 0 ) a0 + (ϕ1 , ϕ1 ) a1 + ... + (ϕ1 , ϕ m ) am = ( f , ϕ1 ) ,.................................................................................(ϕ m , ϕ 0 ) a0 + (ϕ m , ϕ1 ) a1 + ... + (ϕ m , ϕ m ) am = ( f , ϕ m ) ,где ( f , ϕ k ) =n∑ fii =0ϕ k ( x i ) . Таким образом, получена система (m + 1) линейныхуравнений с (m + 1) неизвестными a0 , a1 ,..., am . В силу равенства (ϕ k , ϕl ) = (ϕl , ϕk )матрица(ϕ 0 , ϕ1 ) ..........
(ϕ 0 , ϕ m ) ⎞⎛ (ϕ 0 , ϕ 0 )⎟⎜(ϕ1 , ϕ1 ) .......... (ϕ1 , ϕ m ) ⎟⎜ (ϕ1 , ϕ 0 )A=⎜⎟⎜ ..................................................... ⎟⎜ (ϕ , ϕ ) (ϕ , ϕ ) ......... (ϕ , ϕ ) ⎟m1mm ⎠⎝ m 0системы является симметрической. Если базисные функции ϕ 0 , ϕ1 ,..., ϕm линейнонезависимы, определитель матрицы А не равен нулю (он называется определителемГрама). Тогда решение системы существует и единственно. Аналогичный выводможно сделать и о задаче определения многочлена наилучшего среднеквадратичногоприближения.Метод решения поставленной задачи называется методом наименьшихквадратов или методом наилучшего среднеквадратичного приближения, посколькувеличина критерия представляет собой сумму квадратов отклонений значенийаппроксимирующей функции f m ( x, a ) от заданных значений f i на множестве точек{ x , i = 0, n } . Согласно приведенной классификации метод является сглаживающим.i112ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙВ качестве базисных функций используем степенные: ϕ j ( x ) = x j , j = 0, m .В этом случае обобщенный многочлен имеет видf m ( x, a ) =m∑ajjx= a 0 + a1 x + ...
+ a m x m .j =0Тогда ( f , ϕ j ) =nnni =0i =0i =0∑ f i xij , (ϕk , ϕl ) = ∑ x ik + l , (ϕk , ϕk ) = ∑ xi2kи система длянахождения коэффициентов имеет видn⎛ n ⎞⎛ n⎞⎛ n⎞⎛ n⎞⎜ ∑ 1 ⎟ a0 + ⎜ ∑ x i ⎟a1 + ⎜ ∑ x i2 ⎟a2 + ... + ⎜ ∑ x im ⎟am = ∑ f i ,⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟i =0⎝ i =0 ⎠⎝i =0 ⎠⎝i =0 ⎠⎝ i =0⎠n⎛ n⎞⎛ n⎞⎛ n⎞⎛ n⎞⎜ ∑ x i ⎟a0 + ⎜ ∑ x i2 ⎟a1 + ⎜ ∑ x i3 ⎟a2 + ...
+ ⎜ ∑ x im +1 ⎟am = ∑ x i f i ,⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟i =0⎝ i =0 ⎠⎝i =0 ⎠⎝ i =0 ⎠⎝ i =0⎠.............................................................................................n⎛ n m⎞⎛ n⎞⎛ n⎞⎛ n⎞⎜ ∑ x i ⎟a0 + ⎜ ∑ x im +1 ⎟a1 + ⎜ ∑ x im + 2 ⎟a2 + ... + ⎜ ∑ x i2m ⎟am = ∑ x im f i .⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟i =0⎝ i =0⎠⎝ i =0⎠⎝i =0⎠⎝ i =0⎠Обозначимs 0 = n + 1 , t 0 = f 0 + f1 + ... + f n ,s k = x 0k + x1k + ...
+ x nk , k = 1,...,2m ;t k = x 0k f 0 + x1k f1 + ... + x nk f n , k = 1,..., m .Тогда система преобразуется к видуs 0 a0 + s1a1 + ... + s m am = t 0 ,s1a0 + s 2a1 + ... + s m +1am = t1 ,#(5.5)s m a0 + s m +1a1 + ... + s 2m am = t m .Решая систему линейных алгебраических уравнений, находим неизвестныекоэффициенты a0 , a1 ,..., am . Подставляя решение в f m ( x, a ) , получаем искомуюформулу, которая сглаживает экспериментальные данные.Методика решения задачи сглаживанияШаг 1. Вычислить коэффициенты s k , k = 0,2m; t k , k = 0, m , по заданнойсеточной функции и записать систему (5.5).Шаг 2. Решить полученную систему одним из методов решения СЛАУ и найтикоэффициенты a0 , a1 ,..., am .Шаг 3.
Записать искомую сглаживающую функциюf m ( x, a ) = a 0 + a1 x + ... + a m x m .113З а м е ч а н и я. Если для сеточной функции, заданной в (n + 1) -й точкеx 0 , x1 ,..., x n , определять многочлен степени m = n методом наименьших квадратов,то тогда f m ( x, a ) совпадает с интерполяционным многочленом и метод становитсяэквивалентным методу интерполяции. При этом Δ = 0 и δ m ( a ) = 0 .Б.
ИНТЕГРАЛЬНЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ МНОГОЧЛЕНОВПусть на отрезке [a, b] задана интегрируемая с квадратом функция y = f ( x )b∫( f 2 ( x)dx < ∞ ), которая по каким-либо причинам трудна для использованияa(например, трудно вычислить производные). Тогда может быть поставлена задача ееприближенной замены (аппроксимации) более простой функцией y = F ( x, a ) . Векторнеизвестных параметров a ищется из условия минимального расстояния d ( f , F )между функциями y = f ( x) и y = F ( x, a ) :b∫ [ F ( x, a) − f ( x)]d( f ,F) =2dx → min .aaЭта задача называется задачей наилучшего интегрального среднеквадратичногоприближения (аппроксимации) на отрезке [a, b] . Она эквивалентна проблеменахождения функции y = F ( x, a ) из интегрального условия:b∫Δ = [ F ( x, a ) − f ( x)] 2 dx → min ,aaгде Δ – погрешность аппроксимации.
Искомая функция y = F ( x, a ) называетсяаппроксимирующей функцией, а метод аппроксимации – интегральным методомнаименьших квадратов. При решении этой задачи минимизируется заштрихованнаяплощадь на рис.1, в.На практике аппроксимирующую функцию удобно искать в виде обобщенногомногочленаF ( x, a ) = f m ( x, a ) =m∑ajϕ j ( x) = a 0 ϕ 0 ( x) + a1 ϕ1 ( x) + ... + a m ϕ m ( x) ,j =0где a = {a0 , a1,...,am }T – вектор неизвестных коэффициентов, {ϕ j } = {ϕ 0 , ϕ1 ,..., ϕ m } –заданная система базисных функций, степень многочлена удовлетворяет условию0 ≤ m ≤ n .
В качестве базисных функций могут выбираться, например, степенныефункции {ϕ j } = { x j } , ортогональные многочлены и др. Функции, входящие всистему, должны быть линейно независимыми.Требуетсянайтитакиекоэффициентымногочленаa0 , a1 ,..., am ,обеспечивающие минимум погрешности аппроксимации:bΔ=∫ [fm ( x, a ) −f ( x)] 2 dx → min ,a114a 0 ,a1 ,...a mт.е. такой вектор a = {a0 , a1 ,..., am }T , который обеспечивает минимум величины Δ .В соответствии с постановкой задачи найдем коэффициенты a0 , a1 ,..., amобобщенного многочлена, обеспечивающие минимум критерия:bΔ=∫[ ϕ0 ( x) a 0+ ϕ1 ( x) a1 + ... + ϕ m ( x) a m − f ( x) ] dx → min .2a 0 ,a1 ,...a maТак как на коэффициенты не наложено никаких ограничений, применимнеобходимые условия безусловного экстремума:∂Δ= 0,∂ajj = 0,1,..., m .В результате получаем системуb∂Δ= 2 [ ϕ 0 ( x) a 0 + ϕ1 ( x) a1 + ...
+ ϕ m ( x) a m − f ( x) ] ⋅ ϕ 0 ( x) dx = 0 ,∂ a0a∫b∂Δ= 2 [ ϕ 0 ( x) a 0 + ϕ1 ( x) a1 + ... + ϕ m ( x) a m − f ( x)] ⋅ ϕ1 ( x) dx = 0 ,∂ a1a∫...................................................................................................b∂Δ= 2 [ ϕ 0 ( x) a 0 + ϕ1 ( x) a1 + ... + ϕ m ( x) a m − f ( x) ] ⋅ ϕ m ( x) dx = 0 .∂ ama∫Для компактной записи полученного результата удобно использовать скалярноепроизведение.Скалярным произведением функций ϕ k (x ) и ϕl ( x ) на отрезке [a, b] называетсяинтеграл от их произведения на этом отрезкеb∫(ϕ k , ϕ l ) = ϕ k ( x) ϕ l ( x) dx .abЧисло ϕ k = (ϕ k , ϕ k ) =∫ϕ2k ( x ) dxявляется нормой функции ϕ k (x ) на отрезке [a, b] .aТогда полученную систему можно переписать в форме:(ϕ 0 , ϕ 0 ) a0 + (ϕ 0 , ϕ1 ) a1 + ...
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
