lopt14 (1013513), страница 2
Текст из файла (страница 2)
+ (ϕ 0 , ϕ m ) am = ( f , ϕ 0 ) ,(ϕ1 , ϕ 0 ) a0 + (ϕ1 , ϕ1 ) a1 + ... + (ϕ1 , ϕ m ) am = ( f , ϕ1 ) ,.................................................................................(ϕ m , ϕ 0 ) a0 + (ϕ m , ϕ1 ) a1 + ... + (ϕ m , ϕ m ) am = ( f , ϕ m ) ,115bгде ( f , ϕ k ) = ∫ f ( x) ϕ k ( x) dx . Таким образом, получена система (m + 1) линейныхaуравнений с (m + 1) неизвестными a0 , a1 ,..., am . В силу равенства (ϕ k , ϕl ) = (ϕl , ϕ k )матрица(ϕ 0 , ϕ1 ) .......... (ϕ 0 , ϕ m ) ⎞⎛ (ϕ 0 , ϕ 0 )⎜⎟(ϕ1 , ϕ1 ) ..........
(ϕ1 , ϕ m ) ⎟⎜ (ϕ1 , ϕ 0 )A=⎜⎟⎜ ..................................................... ⎟⎜ (ϕ , ϕ ) (ϕ , ϕ ) ......... (ϕ , ϕ ) ⎟m1mm ⎠⎝ m 0системы является симметрической. Если базисные функции ϕ 0 , ϕ1 ,..., ϕ m линейнонезависимы, то определитель матрицы А не равен нулю (он называется определителемГрама). Тогда решение системы существует и единственно. Аналогичный выводможно сделать и о задаче определения обобщенного многочлена.ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙВ качестве базисных функций используем степенные: ϕ j ( x ) = x j , j = 0, m . Вэтом случае обобщенный многочлен имеет видf m ( x, a ) =m∑ajxj= a 0 + a1 x + ...
+ a m x m .j =0bТогда ( f , ϕ j ) =∫ f ( x) xbj∫dx , (ϕ k , ϕ l ) = xak +lb∫dx , (ϕ k , ϕ k ) = x 2 k dx и системаaaимеет вид⎛b⎞⎛b⎞⎛b 2 ⎞⎛b m ⎞⎜ 1 dx ⎟ a 0 + ⎜ x dx ⎟ a1 + ⎜ x dx ⎟ a 2 + ... + ⎜ x dx ⎟ a m =⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝a⎠⎝a⎠⎝a⎠⎝a⎠∫∫∫∫b∫ f ( x) dx ,a⎛b⎞⎛b 2 ⎞⎛b 3 ⎞⎛ b m +1 ⎞⎜ x dx ⎟ a 0 + ⎜ x dx ⎟ a1 + ⎜ x dx ⎟ a 2 + ... + ⎜ x dx ⎟ a m =⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝a⎠⎝a⎠⎝a⎠⎝a⎠∫∫∫∫b∫a f ( x) x dx ,.............................................................................................⎛b m ⎞⎛ b m+1 ⎞⎛ b m+ 2 ⎞⎛ b 2m ⎞⎜ x dx ⎟ a 0 + ⎜ xdx ⎟ a1 + ⎜ x dx ⎟ a 2 + ...
+ ⎜ x dx ⎟ a m =⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟aa⎝⎠⎝⎠⎝a⎠⎝a⎠∫∫∫∫Обозначимbs0 = b − a ,sk =∫x k dx , k = 1,...,2m ;abt0 =∫ f ( x) dx ,abtk =∫ f ( x) xa116kdx , k = 1,..., m .b∫ f ( x) xamdx .Тогда полученная система преобразуется к видуs 0 a0 + s1a1 + ... + s m am = t 0 ,s1a0 + s 2a1 + ... + s m +1am = t1 ,(5.6)#s m a0 + s m +1a1 + ... + s 2m am = t m .Решая систему линейных алгебраических уравнений, находим неизвестныекоэффициенты a0 , a1 ,..., am .Методика решения задачи аппроксимацииШаг 1. Вычислить коэффициенты s k , k = 0,2m; t k , k = 0, m , по заданнойфункции и записать систему (5.6).Шаг 2.
Решить полученную систему одним из методов решения СЛАУ и найтикоэффициенты a0 , a1 ,..., am .Шаг 3. Записать искомую функцию f m ( x, a ) = a 0 + a1 x + ... + a m x m .З а м е ч а н и я.1. К недостаткам описанного метода относится необходимость вычисленияопределенных интегралов, которые могут быть весьма сложными. Для их нахождениячасто используются методы численного интегрирования.2. Реализация интегрального метода наименьших квадратов с использованиемстепенных функций связана с решением системы линейных алгебраических уравненийотносительно неопределенных коэффициентов.
Этот недостаток устраняется выборомортогональных базисных функций ϕ j (x ) .ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙПри нахождении коэффициентов обобщенного многочлена с помощьюортогональных базисных функций нет необходимости решать систему (5.6).Функции ϕ k (x ) и ϕl ( x ) называются ортогональными на отрезке [a, b] , если ихb∫скалярное произведение равно нулю: (ϕ k , ϕ l ) = ϕ k ( x) ⋅ ϕ l ( x) dx = 0,k ≠l.aСистема функций{ϕj ( x)} , j = 0,1,..., m , называется ортогональной на отрезке[a, b] , если все функции этой системы попарно ортогональны на этом отрезке. Приb∫этом (ϕ k , ϕ k ) = ϕ k ( x) ⋅ ϕ k ( x) dx ≠ 0 .aТак, если в обобщенном многочленеf m ( x, a ) = Q m ( x) = a 0 ϕ 0 ( x) + a1 ϕ1 ( x) + ...
+ a m ϕ m ( x)система базисных функций ортогональная, то система (5.6) перепишется в виде117(ϕ 0 , ϕ 0 ) a0 = ( f , ϕ 0 ) ,(ϕ1 , ϕ1 ) a1 = ( f , ϕ1 ) ,.............................(ϕ m , ϕ m ) am = ( f , ϕ m ) ,т.е. все недиагональные элементы в матрице системы становятся равными нулю.Следовательно, коэффициенты обобщенного многочлена находятся по формулеbaj =( f ,ϕ j )=(ϕ j , ϕ j )( f ,ϕ j )ϕj2=∫f ( x) ⋅ ϕ j ( x) dxabj = 0,1,..., m .,∫ ϕ j ( x) dx2aКоэффициенты обобщенного многочлена называются коэффициентами Фурьефункции y = f ( x) относительно ортогональной на отрезке [a, b] системы функций.ПРИМЕНЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛПодбирается одна из двухпараметрических формул:f ( x, a 0 , a1 ) = a 0 +f ( x, a 0 , a1 ) = a 0 a1x ;a1xf ( x, a 0 , a1 ) =;1x; f ( x, a 0 , a1 ) =;a 0 + a1 xa 0 + a1 xf ( x, a 0 , a1 ) = a 0 e a1x ;f ( x, a 0 , a1 ) = a 0 + a1 ln x ;f ( x, a 0 , a1 ) =f ( x, a 0 , a1 ) =a0a1 + x,1a 0 + a1e − xf ( x, a 0 , a1 ) =a0 xa1 + x;, ....,где a0 , a1 – неизвестные коэффициенты.Требуется найти коэффициенты a0 , a1 , обеспечивающие минимум погрешностиаппроксимации на основе метода наименьших квадратов:bΔ=∫ [ f ( x, a0 , a1 ) −af ( x) ] dx → min .2a 0 ,a1Для нахождения коэффициентов a0 , a1 применяются необходимые условия∂Δ∂Δэкстремума:= 0,= 0 .
В отличие от применения степенных функций,∂a0∂a1нахождение неизвестных коэффициентов сводится к решению двух нелинейныхуравнений.118.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
