lopt15 (1013515), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Вычислить интегралы22∫∫I 1 = x dx ,2∫2I 2 = x dx ,02∫3I 4 = x 4 dxI 3 = x dx ,000по формулам прямоугольников (модифицированной), трапеций, парабол с шагом h = 1 .Найти оценки погрешностей.† Точные значения интегралов:22x3 2 8I 2 = x dx == ,3 0 3x2 2I 1 = x dx == 2,2 0∫∫0202x4 2I 3 = x dx ==4,4 0∫2∫3I 4 = x 4 dx =00x 5 2 32== 6, 4 .5 0 5Для формул прямоугольников и трапеций порядок аппроксимации p = 2 , а дляформулы парабол p = 4 . В поставленной задаче a = 0, b = 2 . Сначала получим оценкипогрешностей априорным способом.Найдем M 2 = max f ′′( x) :[0;2]M 2 = 0 для функции f ( x) = x ;M 2 = 2 для функции f ( x) = x 2 ;M 2 = 12 для функции f ( x) = x 3 ; M 2 = 48 для функции f ( x) = x 4 .Найдем M 4 = max f (4) ( x) :[0;2]M 4 = 0 для функций f ( x) = x ; f ( x) = x 2 ; f ( x) = x 3 ;M 4 = 24 для функции f ( x) = x 4 .Справедливы оценки:ε пр (мод) ≤M224(b − a ) h 2 ;ε тр ≤M2(b − a) h 2 ;12ε пар ≤M4180(b − a) h 4 .Оценки погрешностей формулы прямоугольников (модифицированной):ε пр(мод) = 0 для f ( x) = x ;ε пр(мод) ≤12⋅ 2 ⋅ 12 = 124ε пр(мод) ≤для f ( x) = x 3 ;2⋅ 2 ⋅ 12 = 0,16(6) для f ( x) = x 2 ;24ε пр(мод) ≤48⋅ 2 ⋅ 12 = 824для f ( x) = x 4 .Оценки погрешностей формулы трапеций:ε тр = 0 для f ( x) = x ;ε тр ≤ε тр ≤12⋅ 2 ⋅ 12 = 2 для f ( x) = x 3 ;122⋅ 2 ⋅ 12 = 0,3(3) для f ( x) = x 2 ;12ε тр ≤13248⋅ 2 ⋅ 12 = 812для f ( x) = x 4 .Оценки погрешностей формулы парабол:ε пар = 0 для f ( x) = x ; f ( x) = x 2 ;ε пар ≤24⋅ 2 ⋅ 12 = 0,26(6)180f ( x) = x 3 ;для f ( x) = x 4 .Таким образом, подтверждается факт, что формулы прямоугольников (модифицированная) и трапеций должны быть точными для многочленов первой степени, а формулапарабол – для многочленов не выше третьей степени.Теперь рассчитаем значения интегралов по соответствующим квадратурным формулам.При h = 1 сеточное представление функций имеет видf 0 = f (0),⎛1⎞f 1 = f ⎜ ⎟,2⎝2⎠f1 = f (1),⎛3⎞f 3 = f ⎜ ⎟,2⎝2⎠f 2 = f (2) .По формуле прямоугольников получаем Iˆпр(мод) = h ⋅ ⎡ f 1 + f 3 ⎤ , в частности:⎣⎢ 22 ⎥⎦⎡1 3 ⎤Iˆ1 = 1 ⋅ ⎢ + ⎥ = 2 (0);⎣2 2⎦⎡1 9⎤Iˆ2 = 1 ⋅ ⎢ + ⎥ = 2,5 (0,16(6));⎣4 4⎦⎡ 1 27 ⎤ 7Iˆ3 = 1 ⋅ ⎢ +⎥ = = 3,5 (0,5);⎣8 8 ⎦ 2⎡ 1 81 ⎤ 82Iˆ4 = 1 ⋅ ⎢ + ⎥ == 5,125 (1,275).⎣16 16 ⎦ 16Здесь в скобках указана величина фактической ошибки.hПо формуле трапеций находим Iˆтр = ⋅ [ f 0 + 2 f1 + f 2 ] , в частности:21Iˆ1 = ⋅ [0 + 2 + 2] = 2 (0);21Iˆ2 = ⋅ [0 + 2 + 4] = 3 ( 0,3(3) );21Iˆ3 = ⋅ [0 + 2 + 8] = 5 (1);2Iˆпар1Iˆ4 = ⋅ [0 + 2 + 16] = 9 (2,6).2По формуле парабол, учитывая, что n = 2k = 2 и, следовательно, k = 1 , получаемh= ⋅ [ f 0 + 4 f1 + f 2 ] , в частности:318Iˆ2 = ⋅ [0 + 4 + 4] =331Iˆ1 = ⋅ [0 + 4 + 2] = 2 (0);31Iˆ3 = ⋅ [0 + 4 + 8] = 4 (0);3(0);120Iˆ4 = ⋅ [0 + 4 + 16] == 6,6(6) (0,26(6)).33Очевидно, полученные фактические погрешности соответствуют вычисленным ранее оценкам.

„133.

Характеристики

Список файлов лекций