lopt15 (1013515), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В этом случае говорят, что квадратурнаяформула обладает m-свойством.При приближенном вычислении интеграла, как правило, отрезок [a, b] представляется в виде объединения l непересекающихся частичных отрезков вида [ xi − r , xi + s ] , ко-торым соответствует шаблон Ш k , i = ( xi − r ,… , x i ,..., x i + s ) , где i – номер базового узласетки; r и s – количество узлов левее и правее узла с номером i ; k = r + s + 1 – общеечисло узлов (точек) в шаблоне (рис. 1). На каждом частичном отрезке с номеромj = 1,..., l вычисляется интеграл по соответствующей квадратурной формулеI ii−+rs , j =xi + s∫f ( x)dx ≅ Iˆii−+rs, j ≡ Iˆ j ,j = 1,..., l ,xi − rа затем полученные значения суммируются по всем частичным отрезкам, т.е.Iˆab =l∑Iˆ j =j =0l∑ Iˆii−+rs, j .j =0125yfi −rfi + sfiy = f ( x)I ii −+rs , jI10aIlxi − rxib xxi + sРис.
1Далее в силу использования описанного представления проблеме вычисления интеграла на частичном отрезке уделяется основное внимание. По заданной сеточной функции или сеточному представлению формульной функции на частичном отрезке строитсяинтерполяционный многочлен некоторой степени. Значение Iˆi + s определяется величиi −rной интеграла от этого многочлена.Как следует из замечаний, для вычисления интеграла могут использоваться различные частичные отрезки и соответствующие им шаблоны.А.
ПРИМЕНЕНИЕ ДВУХТОЧЕЧНОГО ШАБЛОНАПусть задана сеточная функцияf ( x i ), i = 0, n , на регулярном шаблоне приh = const . На частичном отрезке [ x i , x i +1 ] , которому соответствует двухточечный шаб-лон Ш 2, i = ( xi , xi +1 ) , где r = 0, s = 1 , функция f ( x) заменяется тремя способами, порождающими соответствующие методы интегрирования. В каждом методе значение интегралаI ii +1x i +1=∫xf ( x)dx аппроксимируется величиной Iˆii +1 , равной площади между графи-iком интерполяционного многочлена и осью абсцисс и получаемой по одноинтервальнойформуле. Нижние индексы соответствуют названию квадратурной формулы, рядом сформулами приводятся оценки порядка (точности) аппроксимации.Подчеркнем, что данные формулы справедливы как для регулярного, так и для нерегулярного шаблона, хотя последующее их суммирование по всем частичным отрезкам[ xi , xi +1 ] традиционно выполняется при h = const .Искомые интегралы определяются не на частичных отрезках, а на всем отрезке[a, b ] , и поэтому путем суммирования левых и правых частей одноинтервальных формулполучаются так называемые составные квадратурные формулы.А1.
Метод прямоугольников (немодифицированный). Функция f ( x) заменяется интерполяционным многочленом нулевой степени L0 ( x) = f ( x i ) , построенным по126значению функции f i = f ( x i ) в левой точке частичного отрезка (рис. 2,а). Величина интеграла на частичном отрезке принимается равной площади между графиком интерполяционного многочлена и осью абсцисс - площади прямоугольника.
В результате получимпростейшую одноинтервальную квадратурную формулу второго порядка точности:+1Iˆii,пр=x i +1∫x L0 ( x) dx = hi+1 ⋅ f i .O(h 2 )iСоставная квадратурная формула метода прямоугольников (немодифицированного) на регулярном шаблоне с h = const имеет видIˆab,пр = h ( f 0 + f 1 + ... + f n −1 ) = hn −1fi .∑i =0Формула метода прямоугольников (немодифицированного) является точной длямногочленов нулевой степени и обладает первым порядком аппроксимации. Для неесправедлива оценка:MI ab − Iˆab,пр ≤ 1 ( b − a ) h ,2где M 1 = max f ′( x) .[ a ,b ]А2.
Метод прямоугольников (модифицированный). Функция f ( x) заменяется⎛ x + x i +1 ⎞интерполяционным многочленом нулевой степени L0 ( x) = f ⎜ i⎟ , построенным по2⎝⎠x + x i +1значению функции f 1 = f ( x 1 ) в середине частичного отрезка x 1 = i(рис.i+i+i+22222,б). Величина интеграла на частичном отрезке принимается равной площади между графиком интерполяционного многочлена и осью абсцисс - площади прямоугольника. В результате получим простейшую одноинтервальную квадратурную формулу третьего порядка точности:1Iˆii+,пр (мод) =x i +1x i +1∫ L0 ( x) dx = x∫xii⎛ x + x i +1 ⎞f⎜ i⎟ dx = hi +1 f i + 1 .2⎝⎠2O(h 3 )Составная квадратурная формула метода прямоугольников (модифицированного)на регулярном шаблоне с h = const имеет видn −1⎛⎞Iˆab,пр (мод) = h ⎜ f 1/2 + f 3/2 + ...
+ f 1 ⎟ = hf 1.⎜n− ⎟i+=0i2 ⎠2⎝∑Формула метода прямоугольников (модифицированного) является точной длямногочленов первой степени и обладает вторым порядком аппроксимации. Для нее справедлива оценка:MI ab − Iˆab,пр (мод) ≤ 2 ( b − a ) h 2 ,24где M 2 = max f ′′( x) .[ a ,b ]127yf i +1f ( x)fiyyfL0 ( x )L0 ( x )i+f i +112L1 ( x)fixxi +1f i +1fixxif ( x)x 1i+xixixi +12hi +1xx i +1hi +1hi +1бваРис. 2А3. Метод трапеций.
Функция f ( x) заменяется интерполяционным многочленом первой степени L1 ( x) с узловыми значениями xi , xi +1 (рис. 2,в). Величина интегралана частичном отрезке принимается равной площади между графиком интерполяционногомногочлена и осью абсцисс – площади трапеции (произведению полусуммы основанийна высоту). В результате получим простейшую одноинтервальную квадратурную формулу третьего порядка точности:Iˆii+,тр1x i +1=∫xL1 ( x) dx = hi +1f i + f i +1i2.O(h 3 )Составная квадратурная формула метода трапеций на регулярном шаблоне сh = const имеет видf + fn ⎞ h⎛ f + f1 f1 + f 2Iˆab,тр = h ⎜ 0++ ... + n −1⎟ = ⎡⎣ f 0 + 2 ( f 1 + f 2 + ..
+ f n −1 ) + f n ⎤⎦ =22⎝ 2⎠ 2n −1⎞h⎛f i + f n ⎟⎟ .= ⎜⎜ f 0 + 22⎝i =1⎠∑Формула метода трапеций является точной для многочленов первой степени и обладает вторым порядком аппроксимации. Для нее справедлива оценка:где M 2 = max f ′′( x) .MI ab − Iˆab, тр ≤ 2 (b − a ) h 2 ,12[ a ,b ]Заметим, что порядок аппроксимации составных квадратурных формул прямоугольников и трапеций на единицу меньше порядка аппроксимации одноинтервальнойформулы.128Б.
ПРИМЕНЕНИЕ ТРЕХТОЧЕЧНОГО ШАБЛОНАПусть отрезок [a, b] разбит на четное количество одинаковых частичных отрезков,т.е. n = 2k , где k − число пар. На частичном отрезке [ x i −1 , x i +1 ] , которому соответствуеттрехточечный шаблон Ш 3,i = ( xi −1 , x i , x i +1 ) (по одной паре отрезков при r = 1, s = 1 ),функция f ( x) заменяется параболой (интерполяционным многочленом L2 ( x) второйстепени), проходящей через три заданные на шаблоне точки. В каждом методе значениеинтегралаI ii−+11x i +1=∫f ( x)dx аппроксимируется величиной Iˆii−+11 , равной площади междуx i −1графиком интерполяционного многочлена и осью абсцисс и получаемой по двухинтервальной формуле.Метод парабол.
На регулярном шаблоне при h = const , подсчитывая площадь подпараболой (рис. 3), можно получить двухинтервальную квадратурную формулу парабол,или формулу Симпсона:1Iˆii+−1,пар=x i +1∫Lx i −12 ( x ) dx=h( f i −1 + 4 f i + f i +1 ) .3O(h 5 )Составная квадратурная формула метода парабол имеет видhIˆab, пар = [ f 0 + 4( f1 + f 3 + ... + f 2k −1 ) + 2( f 2 + f 4 + ... + f 2k − 2 ) + f n ] =3kk −1⎤h⎡= ⎢ f 0 + 4 ∑ f 2i −1 + 2 ∑ f 2i + f 2k ⎥ .3 ⎢⎣⎥⎦i =1i =1Подчеркнем, что в составной квадратурной формуле парабол индекс « k » указывает на число пар отрезков разбиения, которое предполагается четным ( n = 2k ).
Если этоусловие не выполняется, то интеграл вычисляется для четного количества отрезков и кполученному значению добавляется величина I nn−1 , рассчитанная с порядком O (h 5 ) поформулам, приведенным далее.Формула метода парабол является точной для многочленов третьей степени и имеет четвертый порядок аппроксимации. Для нее справедлива оценка:MI ab − Iˆab, пар ≤ 4 (b − a ) h 4 ,180где M 4 = max f (4) ( x) .[ a, b]129yf i +1f ( x)L 2 ( x)fifi −1xxi −1 hxihxi +12hРис.
3В. ПРИМЕНЕНИЕ МНОГОТОЧЕЧНЫХ ШАБЛОНОВРассмотрим применение четырех-, пяти-, семиточечных шаблонов.Ш 5,iВ1. Метод Боде. Четырехинтервальная формула Боде на пятиточечном шаблоне= ( x i − 2 , x i −1 , xi , x i +1 , x i + 2 ) , где r = 2, s = 2 (рис. 4,б):(O (h )) .2hIˆii−+22,c =(7 f i − 2 + 32 f i −1 + 12 f i + 32 f i +1 + 7 f i + 2 )457В2. Метод Уэддля. Шестиинтервальная формула Уэддля на семиточечном шаблоне Ш7,i = ( xi−3, xi−2, xi−1, xi , xi+1, xi+2, xi+3) , где r = 3, s = 3 (рис. 4,в):3hIˆii−+33,c =( f i − 3 + 5 f i − 2 + f i −1 + 6 f i + f i + 1 + 5 f i + 2 + f i + 3 )10(O (h )) .7В3. Методы Ньютона–Котеса. Приведем два частных случая:Ш 4,i–трехинтервальнаяформуланачетырехточечномшаблоне= ( xi − 2 , x i −1 , xi , x i +1 ) , где r = 2, s = 1 (формула «трех восьмых», рис.
4,а):3hIˆii−+21,c =( f i − 2 + 3 f i −1 + 3 f i + f i + 1 )8Ш7,i(O (h ));5–шестиинтервальнаяформуланасемиточечном= ( xi−3 , xi−2 , xi−1, xi , xi+1, xi+2 , xi+3 ) , где r = 3, s = 3 (рис. 4,в):hIˆii−+33,c =(41 f i − 3 + 216 f i − 2 + 27 f i −1 + 272 f i + 27 f i +1 + 216 f i + 2 + 41 f i + 3 )140шаблоне(O (h )) .9Искомое приближенное значение интеграла Iˆab получается суммированием повсем частичным отрезка130yf i +1 yL3 ( x ) f iL4 ( x) f if i −1f i +1f i +2 yf i −1f i −2f i −2f i −2hxi − 2hhxixi −1аxxi +1f i −3hxi − 2 xi −1L6 ( x ) fi −1f i +2 f i +3f i f i +1hxxix i +1 x i + 2бxxi − 3 xi − 2xi −1 xi xi +1xi + 2 xi + 3вРис. 4Методика вычисления определенного интеграла с заданной точностьюи априорным нахождением шага интегрированияШаг 1.
Для правой части формулы оценки погрешностей вычислить константуpM p = max f ( ) ( x ) . С этой целью необходимо продифференцировать функцию p раз[ a, b]и вычислить ее максимальное значение на отрезке [a, b ] , где p – порядок аппроксимацииквадратурной формулы.Шаг 2. Из условияMp(b − a ) ⋅ h p ≤ ε ,AMpгде– константа, входящая в правую часть оценки погрешностей, определяется веAA ⋅εличина h : h ≤ p.M p (b − a )Шаг 3. По значению h вычислить n – количество разбиений отрезка [a, b ] исформировать сеточное представление функции y = f ( x ) , т.е. y i = f ( x i ) , x 0 = a ;x1 = a + h ; x 2 = a + 2h ; . . . ; x n = a + n ⋅ h ( i = 0,1, … , n ).Шаг 4. Полученную сеточную функцию подставить в правую часть соответствующей квадратурной формулы и вычислить искомое значение Iˆb . При этом значениеaинтеграла в силу справедливости оценки удовлетворяет заданной точности ε .З а м е ч а н и я.Рассмотренный способ вычисления интегралов, когда с использованием оценок иточности ε предварительно вычисляется шаг интегрирования h , является способом с априорным определением шага h .131Пример 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
