11 Задачи приближения функций. Интерполяция (1013415), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

 ( x  x n )DiТаблица 1f0f1f2fnfiЗдесь Di – произведение элементов i -й строки,  n 1 ( x ) – произведение элементов главной диагонали. Тогда многочлен Лагранжа может быть записан в формеnLn ( x )   n 1 ( x ) i 0fiDi.З а м е ч а н и я.1. При введении дополнительных узлов интерполяции все коэффициенты многочлена Лагранжа необходимо пересчитывать заново, что неудобно на практике. От этогонедостатка свободны многочлены Ньютона.2. Выделим «окно» или частичный отрезок x i , x i 1  , содержащий только две точки (шаблон ( x i , x i 1 ) ). Тогда многочлен Лагранжа, интерполирующий исходную функцию на данном шаблоне, имеет видL1 ( x) ( x  x i 1 )( x i  x i 1 )fi ( x  xi )( x i 1  x i )f i 1 .Действительно, легко убедиться в том, что L1 ( x ) – алгебраический многочлен перусловияминтерполяции,т.е.войстепени,которыйудовлетворяетL1 ( x i )  f i , L1 ( x i 1 )  f i 1 .

Полученный многочлен соответствует линейной интерполяции, так как графиком функции является прямая линия.3. Выделим «окно» в виде двойного частичного отрезка x i , x i  2  с шаблоном( x i , x i 1 , x i  2 ) . Тогда многочлен Лагранжа записывается в виде( x  x i 1 )  ( x  x i  2 )( x  xi )  ( x  xi  2 )L2 ( x) fi f i 1 ( x i  x i 1 )  ( x i  x i  2 )( x i  1  x i )  ( x i 1  x i  2 )( x  x i )  ( x  x i 1 )fi2.( x i  2  x i )  ( x i  2  x i 1 )Легко проверить, что L2 ( x) – многочлен второй степени и также удовлетворяет условиям функциональной интерполяции: L2 ( x i )  f i ; L2 ( x i 1 )  f i 1 , L2 ( xi  2 )  f i  2 .Полученный многочлен соответствует параболической (квадратичной интерполяции), так как графиком функции является парабола.107Б.

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ НЬЮТОНАИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН НЬЮТОНА ДЛЯ НЕРАВНОМЕРНОЙ СЕТКИПусть исходная (интерполируемая) сеточная функция y i  f  x i   f i , i  0, n ,задана на неравномерной сетке  n  x 0 , x1 , x 2 ,..., x n , характеризующейся шагамиhi 1  x i 1  x i  var .Выбрав внутри неравномерной сетки соответствующие шаблоны интерполяцииxi , xi 1  , x i , xi 1 , xi  2  ,..., xi , xi 1 ,.., xi  k  , введем следующие определения разделенных разностей:– разделенная разность нулевого порядка: f ( x i )  f i ;– разделенная разность первого порядка: f ( x i , x i 1 ) f i 1  f ix i 1  x i– разделенная разность второго порядка: f ( xi , xi 1, xi  2 ) ;f ( x i 1 , x i  2 )  f ( x i , x i 1 )xi  2  xi;– разделенная разность k-го порядка:f ( x i , x i 1 ,..., x i  k ) f ( x i 1 , x i  2 ,..., x i  k )  f ( x i , x i 1 ,..., x i  k 1 )xi  k  xi;– разделенная разность n-го порядка в узле x 0 :f ( x 0 , x1 ,..., x n ) f ( x1 , x 2 ,..., x n )  f ( x 0 , x1 ,..., x n 1 )xn  x0.Интерполяционный многочлен Ньютона n-й степени имеет видN n x   f 0  f x 0 , x1 x  x 0   f x 0 , x1 , x 2 x  x 0 x  x1   ...

 f x 0 , x1 ,..., x n x  x 0 x  x1   ...  x  x n 1  .З а м е ч а н и я. Интерполяционный многочлен Ньютона (так же, как и многочленНьютона, выражаемый ниже через конечные разности) записан не через значения функции, как это имеет место для многочлена Лагранжа, а через разделенные разности. Поэтому при изменении степени k в процессе интерполирования у многочлена НьютонаN k x  требуется только добавить или отбросить соответствующее число слагаемых. Этоиногда упрощает алгоритм интерполирования.108ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ НЬЮТОНАДЛЯ РАВНОМЕРНОЙ СЕТКИПусть исходная (интерполируемая) сеточная функция y i  f  x i   f i , i  0, n ,задана на равномерной сетке  n  x 0 , x1 , x 2 ,..., x n , характеризующейся шагамиhi 1  x i 1  x i  h  const .Выбрав внутри равномерной сетки соответствующие шаблоны интерполяцииxi , xi 1  , x i , xi 1 , xi  2  ,..., xi , xi 1 ,.., xi  k  , введем следующие определения конечныхразностей:fi ;– конечная разность нулевого порядка:– конечная разность первого порядка: f i  f i 1  f i ;– конечная разность второго порядка: 2 f i  (f i )  f i 1  f i  f i  2  2 f i 1  f i ;– конечная разность k -го порядка: k f i  (k 1 f i ) где Ckj k (1) j C kj f i  j ,j 0k!;(k  j )! j !– конечная разность n -го порядка в узле x 0 :  n f 0   n1 f 1   n 1 f 0 .Интерполяционный многочлен Ньютона n -го порядка имеет видN nI  q   f 0 где q x  x0hf 01!q2 f 02!q q  1  ...

n f 0n!q q  1 ... q  n  1 ,– фаза интерполяции относительно точки x 0 .В. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ СПЛАЙНАМИСплайн-функцией, или сплайном, называется совокупность S m,i x   алгебраических многочленов степени m (звеньев), т.е.S m,i x  гдеm ak ,i x  xi k ,k 0a k ,i , k  0, m – коэффициенты, определенных на частичных отрезках x i , x i 1  ,i  0, n  1 , и соединенных вместе по всем частичным отрезкам так, чтобы можнобыло составить многозвенную функцию S m x  n 1 S m,i x  ,i 0определенную и непрерыв-ную на всем отрезке a, b  вместе со всеми своими производными S m p  x  до некоторого их порядка p  1,2,  .Разность между m и наибольшим порядком производной, непрерывной на отрезке a, b  , определяет дефект сплайна q .109Рассмотрим задачу восполнения заданной сеточной функции yi  f x i  , i  0, n ,x i  a, b  на базе интерполяционных глобальных кубических дифференциальных сплайнов дефекта один ( m  3 , q  1 ), т.е.

S 3 x   C 2 a, b  . При этом предположим, что восполняемая функция достаточно гладкая.Уравнение i -го звена сплайна ( i  0,1,..., n  1 ) ищется в видеS 3,i x   a0,i  a1,i x  x i   a2,i x  x i 2  a3,i x  x i 3 , x  x i , x i 1  ,где a 0,i , a1,i , a 2,i , a 3,i - неизвестные коэффициенты. Они вычисляются на основе применения условий непрерывности (гладкости) сплайна S 3  x  , которые называются условиями стыковки и согласования:1) условие интерполяции S 3 ( x i )  f i , i  0, n ;2) условие непрерывности во внутренних узлах сетки:S 3 ( x i  0)  S 3 ( x i  0), i  1, n  1 ;3) условие непрерывности первой производной во внутренних узлах сетки:S 3 ( x i  0)  S 3 ( x i  0), i  1, n  1 ;4) условие непрерывности второй производной во внутренних узлах сетки:S 3( x i  0)  S 3( x i  0), i  1, n  1 ;5) условие для определения второй производной в узлах x 0 , x n :S 3( x 0 )  0,S 3( x n )  0 .Заметим, что имеется n частичных отрезков x i , x i 1  и, следовательно, 4n неизвестныхкоэффициентовсплайна,длянахождениякоторыхимеется(n  1)  3(n  1)  2  4n условий.Можно показать, что уравнение звена сплайна удобно записать в форме 1hhf i  i 1 mi  i 1 mi   x  x i  S 3,i x   f i  26 hi 1mi2 x  x i 2 1mi  x  x i 3 ,6hi 1i  0, n  1 ,где hi 1  x i 1  x i , f i  f i 1  f i , mi  mi 1  mi , а параметры miузлах сетки находятся из системы трехдиагонального вида:hi6mi 1 hi  hi 13mi hi 16mi 1 f ihi 1f i 1hiво внутренних, i  1, n  1 .Из условия 5 согласования и стыковки следуют два так называемых краевых условия: m0  0 ; mn  0 .

Такие краевые условия называются условиями натуральногосплайна. Решая систему, можно найти параметры mi , i  0, n и получить уравнения всехзвеньев сплайна.110.

Характеристики

Список файлов лекций