Образец выполнения этапа №3 курсовой работы (1013042)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Образецв ы п о л н е н и я э т а п а #3Курсовая работапо курсу «Дифференциальные уравнения».Выполнил студент группы 7o-201С Иванов И.И.Вариант №1Этап #3Задание:Вариант №1Этап #31. а) ( x 2 + 1) y′′ = 2 x ⋅ y′Задание.1. Понизить порядок ДУ до первого.Определить тип получившегося ДУ 1-гопорядка.б) x ⋅ y ⋅ y′′ − x ⋅ ( y′) 2 = y ⋅ y′2. ( y′) 2 + 2 y ⋅ y′′ = 02.

Решить ДУ 2-го порядка.3. y IV = y′′′y(0) = 1, y ′(0) = 2, y ′′(0) = 3, y ′′′(0) = 43. Решить задачу Коши для ДУ 4-го порядка.Часть1.Уравнение а)Дано: ( x 2 + 1) y′′ = 2 x ⋅ y′Понизить порядок ДУ до первого. Определить тип получившегося ДУ 1-го порядка.Решение:Данное ДУ является ДУ 2-го порядка, не содержащим y .Используем замены: y′ = z( x ) , тогда y′′ = z′ .Получим: ( x 2 + 1)z′ = 2 x ⋅ z - ДУ 1-го порядка.Полученное ДУ 1-го порядка является ДУ с разделяющимися переменными:2xz′ = 2⋅ zx +1 ψ ( z )ϕ( x )Уравнение б)Дано: x ⋅ y ⋅ y′′ − x ⋅ ( y′) 2 = y ⋅ y′Понизить порядок ДУ до первого.

Определить тип получившегося ДУ 1-го порядка.Стр. 1Образецв ы п о л н е н и я э т а п а #3Решение:Данное ДУ является ДУ 2-го порядка содержит x и y .Проверяем на однородность: x ⋅ (ky) ⋅ (ky′′) − x ⋅ (ky′) 2 = ky ⋅ ky′ - каждое слагаемое в ДУсодержит k 2 , сократив на которое ( k ≠ 0 ), получим исходное ДУ.Используем замены: y′ = z( x ) ⋅ y , тогда y′′ = z′ ⋅ y + z 2 ⋅ yПолучим:x ⋅ y ⋅ (z′ ⋅ y + z 2 ⋅ y) − x ⋅ (z ⋅ y) 2 = y ⋅ z ⋅ yx ⋅ z′ ⋅ y 2 + x ⋅ z 2 ⋅ y 2 − x ⋅ z 2 ⋅ y 2 = y 2 ⋅ zx ⋅ z′ + x ⋅ z 2 − x ⋅ z 2 = zx ⋅ z′ = z - ДУ 1-го порядкаПолученное ДУ 1-го порядка является ДУ с разделяющимися переменными:1z′ =⋅ zx ψ(z)ϕ( x )Часть 2.Дано: ( y′) 2 + 2 y ⋅ y′′ = 0Решить ДУ 2-го порядка.Решение:1. Данное ДУ является ДУ 2-го порядка, не содержащим x .Используем замены: y′ = p( y) , тогда y′′ = p′ ⋅ p .Получим: p 2 + 2 y ⋅ p′ = 0 - ДУ 1-го порядка.2.

Решаем полученное ДУ 1-го порядка:−1p′ =⋅ p - это ДУ с разделяющимися переменными.2ydp − 1=⋅pdy 2 y∫dp1 dy=− ∫p2 yp=1⇒ ln p = − ln y + ln C12C1- решение ДУ 1-го порядкаyСтр. 2⇒ ln p = ln1+ ln C1 ⇒yОбразецв ы п о л н е н и я э т а п а #3C1- ДУ 1-го порядкаyРассмотрим решение полученного ДУ при разных значениях C1 :3. Сделаем обратную замену: y′ =C1 = 0y′ = 0y=CC1 ≠ 0C1ydy C1=dxyy′ =⇒∫ydy = ∫ C1dx32 2y = C1 x + C 2334. В результате получены два решения ДУ:2 2y = C1 x + C 2 и y = C и ни одно из них не3является частным случаем другого.5. Проверим потеряные решения:в ДУp = 0 ⇒ y′ = 0 ⇒ y = С → 0 ≡ 0 , но такое решение найдено ранее.в ДУy = 0 → 0 ≡ 0 , но это решение частный случай решения y = C при C = 0 .32Ответ: y 2 = C1 x + C 2 ,3y=CЧасть 3.Дано: y IV = y′′′y(0) = 1, y ′(0) = 2, y ′′(0) = 3, y ′′′(0) = 4Решить задачу Коши для ДУ 4-го порядка.Решение:Сначала найдём общее решение ДУ.Данное ДУ является ДУ 4-го порядка, не содержащим y .Используем замены: y ′′′ = z( x ) , тогда y IV = z ′ .Получим: z ′ = z - ДУ 1-го порядка.Полученное ДУ 1-го порядка является ДУ с разделяющимися переменными:dz=zdxСтр.

3Образецв ы п о л н е н и я э т а п а #3dz= dxz ∫ln z = x + ln C1∫z = C1 ⋅ e x - решение ДУ 1-го порядкаДелаем обратную замену: y ′′′ = C1 ⋅ e x - получено ДУ 3-го порядка.y ′′′ = C1 ⋅ e x это ДУ вида y ( n ) = f ( x ) , решаем ДУ с помощью 3-х кратного интегрированиялевой и правой частей ДУ:xx∫ y′′′dx = ∫ C1e dx → y′′ = C1e + C 2∫ y′′dx = ∫ (C ex1+ C 2 )dx→y ′ = C 1e x + C 2 x + C 3xx∫ y′dx = ∫ (C1e + C 2 x + C 3 )dx → y = C1e + C 2Получено общее решение ДУ: y = C1e x + C 2x2+ C3 x + C 42x2+ C3x + C42Дифференцируем общее решение три раза:y ′ = C1e x + C 2 x + C 3y′′ = C1e x + C 2y ′′′ = C1 ⋅ e xПодставляем заданные начальные условия в общее решение и производные:02Условие y(0) = 1 означает, что при x = 0 функция y = 1 : 1 = C1 ⋅ e 0 + C 2+ C3 ⋅ 0 + C 42Условие y ′(0) = 2 означает, что при x = 0 функция y′ = 2 : 2 = C1 ⋅ e 0 + C 2 ⋅ 0 + C 3Условие y ′′(0) = 3 означает, что при x = 0 функция y ′′ = 3 : 3 = C1 ⋅ e 0 + C 2Условие y ′′′(0) = 4 означает, что при x = 0 функция y ′′′ = 4 : 4 = C1 ⋅ e 01 = C1 + C 42 = C + C13Получили: 3 = C1 + C 24 = C1C1 = 4C = −1Решаем систему:  2C 3 = −2C 4 = −3Подставим найденные значения в общее решение: y = 4e x −Коши.x2− 2x − 3Ответ: y = 4e −2xСтр.

4x2− 2 x − 3 - решение задачи2.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы