Образец выполнения этапа №6 курсовой работы (1013050)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Образецв ы п о л н е н и я э т а п а #6Курсовая работапо курсу «Дифференциальные уравнения».Выполнил студент группы 7o-201С Иванов И.И.Вариант №1Этап #6Задание:Вариант №1Этап #62x 2 y′′+(3x − 2x 2 ) ⋅ y′−( x + 1) ⋅ y = 0y(1) = 0, y′(1) = 1Задание.1. Найти приближенно-аналитическоерешение задачи Коши методомнеопределенных коэффициентов.2. Найти приближенно-аналитическоерешение задачи Коши методомпоследовательного дифференцирования.Дано: 2x 2 y′′+(3x − 2x 2 ) ⋅ y′−( x + 1) ⋅ y = 0 y(1) = 0, y′(1) = 1 .Здесь: x 0 = 1, y( x 0 ) = y 0 = 0, y′( x 0 ) = y′0 = 1 .Выразим из дифференциального уравнения старшую производную и проанализируемправую часть:− (3x − 2x 2 ) ⋅ y′ + ( x + 1) ⋅ y− (3x − 2 x 2 ) ⋅ y ′ + ( x + 1) ⋅ y′) =y ′′ =⇒f(x,y,y2x 22x 2f ( x , y , y′)Т.к. функция f ( x , y, y′) является аналитической в начальной точке ( x 0 , y0 , y′0 ) = (1, 0, 1) ,решение будем искать в виде бесконечного ряда по степеням ( x − x 0 ) = ( x − 1) .Часть1. Метод неопределенных коэффициентов.Будем искать решение задачи Коши в виде:y = C0 ( x − 1)0 + C1 ( x − 1)1 + C2 ( x − 1)2 + C3 ( x − 1)3 + C 4 ( x − 1) 4 + C5 ( x − 1)5 + ...

== C0 + C1 ( x − 1) + C2 ( x − 1) 2 + C3 ( x − 1)3 + C 4 ( x − 1) 4 + C5 ( x − 1)5 + ...Тогда:Стр. 1Образецв ы п о л н е н и я э т а п а #6y′ = C1 ( x − 1)0 + 2C 2 ( x − 1)1 + 3C3 ( x − 1)2 + 4C4 ( x − 1)3 + 5C5 ( x − 1) 4 + ... == C1 + 2C 2 ( x − 1) + 3C3 ( x − 1) 2 + 4C4 ( x − 1)3 + 5C5 ( x − 1) 4 + ...y ′′ = 2C 2 ( x − 1) 0 + 6C 3 ( x − 1)1 + 12C 4 ( x − 1) 2 + 20C 5 ( x − 1) 3 + ...

== 2C 2 + 6C 3 ( x − 1)1 + 12C 4 ( x − 1) 2 + 20C 5 ( x − 1) 3 + ...Выпишем коэффициенты дифференциального уравнения:коэффициент при y ′′:g1 ( x ) = 2 x 2коэффициент при y ′:g 2 ( x ) = 3x − 2x 2g3 ( x ) = −( x + 1)g4 (x) = 0коэффициент при y :коэффициент при свободном члене:Коэффициент g 4 ( x ) является конечным рядом по степеням ( x − 1) : g 4 ( x ) = 0 ⋅ ( x − 1) 0 .Представим остальные коэффициенты g1( x ) , g 2 ( x ) , g 3 ( x ) в виде рядов по степеням∞( x − 1) , используя формулу Тейлора: g( x ) =g(k ) (x 0 )∑ k! ⋅ ( x − x 0 )kk =0Замечание !Коэффициенты ДУ представляющие собой любые числовые константы не нужнораскладывать в ряд, поскольку любая константа M может быть представленаконечным рядом по степеням ( x − x 0 ) : M = M ⋅ ( x − x 0 ) 0 .Также не нужно раскладывать в ряд коэффициенты, уже являющиеся конечнымирядами по степеням ( x − x 0 ) , например коэффициент 3x 2 по степеням x , т.к.3x 2 = 0 ⋅ x 0 + 0 ⋅ x + 3 ⋅ x 2 - конечный ряд.g1 ( x ) = 2 x 2g1′ ( x ) = 4xg1′′(x) = 4g1′′′(x) = 0g1 (1) = 2g1′ (1) = 4g1′′(1) = 4g1′′′(1) = 0g 2 (x) = 3x - 2x 2g′2 (x) = 3 - 4xg′2′ (x) = -4g′2′′(x) = 0g 2 (1) = 1g′2 (1) = -1g′2′ (1) = -4g′2′′(1) = 0g1 ( x ) =⇒244( x − 1) 0 + ( x − 1)1 + ( x − 1) 2 =0!1!2!= 2 + 4( x − 1) + 2( x − 1) 2g 2 (x) =⇒1−1−4( x − 1) 0 +( x − 1)1 +( x − 1) 2 =0!1!2!= 1 − ( x − 1) − 2( x − 1) 2Стр.

2Образецg 3 (x) = -(x - 1)g′3 (x) = -1g 3 (1) = -1g′3 (1) = -1g′3′ (x) = 0g ′3′ (1) = 0в ы п о л н е н и я э т а п а #6⇒g 3 (x ) =−2−1( x − 1) 0 +( x − 1)1 = −2 − ( x − 1)0!1!Перепишем исходное уравнение, используя представление в виде рядов для y, y ′ , y ′′ ивсех коэффициентов:{ 2 + 4( x − 1) + 2( x − 1) 2 } ⋅ { 2C 2 + 6C3 ( x − 1) + 12C4 ( x − 1) 2 + 20C5 ( x − 1)3 + ... } ++ { 1 − ( x − 1) − 2( x − 1)2 } ⋅ { C1 + 2C 2 ( x − 1) + 3C3 ( x − 1)2 + 4C 4 ( x − 1)3 + 5C5 ( x − 1) 4 + ...

} ++ { − 2 − ( x − 1) } ⋅ { C0 + C1 ( x − 1) + C 2 ( x − 1) 2 + C3 ( x − 1)3 + C4 ( x − 1)4 + C5 ( x − 1)5 + ... } = 0Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые при одинаковых степенях ( x − 1) , азатем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ( x − 1) в левой и правойчасти уравнения:левая часть( x − 1)04C2 + C1 − 2C0праваячасть=0( x − 1)112C3 + 8C2 − C1 + 2C 2 − C0 − 2C1=0( x − 1) 224C4 + 24C3 + 4C2 + 3C3 − 2C2 − 2C1 − C1 − 2C 2=0( x − 1)340C5 + 48C4 + 12C3 + 4C4 − 3C3 − 4C2 − 2C3 − C2=0Окончательно получена система 4-x алгебраических уравнений c 6-ю неизвестными:− 2C0 + C1 + 4C2 = 0− C − 3C + 10C + 12C = 0 0123− 3C1 + 27C3 + 24C4 = 0− 5C2 + 7C3 + 52C4 + 40C5 = 0Определим коэффициенты C 0 и C1 из начальных условий:y(1) = 0 ⇒ C 0 + C1 (1 − 1) + C 2 (1 − 1) 2 + C 3 (1 − 1) 3 + ...

= 0 ,23y′(1) = 1 ⇒ C1 + 2C 2 (1 − 1) + 3C3 (1 − 1) + 4C 4 (1 − 1) + ... = 1 ,Стр. 3следовательно, C 0 = 0 .следовательно, C1 = 1 .в ы п о л н е н и я э т а п а #6ОбразецТогда система для определения коэффициентов примет вид: − 2 ⋅ 0 + 1 + 4C 2 = 0− 0 − 3 ⋅1 + 10C + 12C = 023−3⋅1+27C+24C=034− 5C2 + 7C3 + 52C4 + 40C5 = 0 4C 2 = − 110C + 12C = 32327C+24C34 =3− 5C2 + 7C3 + 52C4 + 40C5 = 0илиОпределим коэффициенты C 2 и C 3 из системы, получим:1C2 = − ,4C3 =11.24Окончательно, запишем приближенно-аналитическое решение задачи Коши.14Ответ: y = ( x − 1) − ( x − 1)2 +11( x − 1)3 + ...24Часть2.

Метод последовательного дифференцирования.∞∑ a k ⋅ ( x − x 0 )k , гдеБудем искать решение задачи Коши в виде: y =k =0Из начальных условий:y(1) = 0⇒a0 =y(1) 0= =00! 1y′(1) = 1⇒a1 =y′(1) 1= =11!1ak =y( k ) ( x 0 )k!Найдем y ′′ из дифференциального уравнения:y′′ =( x + 1) y − (3x − 2x 2 ) y′=xy + y − 3xy′ + 2x 2 y′2x 22x 2Вычислим y ′′ в точке x 0 = 1 при условии, что y(1) = 0 , y′(1) = 1 :y′′(1) =1 ⋅ y(1) + y(1) − 3 ⋅ 1 ⋅ y′(1) + 2 ⋅ 12 ⋅ y′(1)2 ⋅ 12Найдем y ′′′ , продифференцировав y ′′ по x:Стр. 41 ⋅ 0 + 0 − 3 ⋅ 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 12 ⋅ 11==−22⇒y′′(1) − 1 21a2 ===−2!24⇒Образецв ы п о л н е н и я э т а п а #6′ xy + y − 3xy′ + 2 x 2 y′ =y′′′ = 22x( y + xy′ + y′ − 3y′ − 3xy′′ + 4xy′ + 2x 2 y′′)2x 2 − 4 x ( xy + y − 3xy′ + 2x 2 y′)==4x 4===y + xy′ + y′ − 3y′ − 3xy′′ + 4xy′ + 2 x 2 y′′2x 2y′y′3y′ 3y′′ 2 y′yy 3y′ 2 y′+ 2− 2−++ y′′ − 2 − 3 + 2 −=2x 2x2xxx2xxxx2+y′y′3y′ 3y′′yy+ 2+ 2−+ y′′ − 2 − 32x 2x2x2xxxВычислим y ′′′ в точке x 0 = 1 при условии, что y(1) = 0 , y′(1) = 1 , y′′(1) = −y′′′(1) ==+y2xx32y2x−xy + y − 3xy′ + 2x 2 y′1:2y′′(1) y′(1) 3y′(1) 3y′′(1)y(1) y(1)++−+ y′′(1) − 2 − 3 =222 ⋅1 2 ⋅12 ⋅12 ⋅12 ⋅1110 1 1 3 3 ⋅ ( − 1 2)1 0 0y′′′(1) 11 4 11= + + + −+ (− ) − − = 11⇒ a3 ===42 2 2 222 1 13!624y(1)2+Окончательно, запишем приближенно-аналитическое решение задачи Коши.14Ответ: y = ( x − 1) − ( x − 1)2 +11( x − 1)3 + ...24Стр.

5.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы