Образец выполнения этапа №1 курсовой работы (1013038)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Образецв ы п о л н е н и я э т а п а #2Курсовая работапо курсу «Дифференциальные уравнения».Выполнил студент группы 7o-201С Иванов И.И.Вариант №1Этап #2Задание:Этап #2Вариант №1а) 2 y ′ + y ⋅ tg ( x ) =Задание. Определить тип (сcos( x )yдоказательством) и найти общее решениекаждого ДУ 1-го порядкаб) (2 y ⋅ cos( x ) + x 2 )dy = ( y 2 ⋅ sin( x ) − 2 x ⋅ y)dxУравнение а)cos( x )yОпределить тип и найти общее решение ДУ.Дано: 2 y ′ + y ⋅ tg ( x ) =Решение:Выразим из ДУ y ′ и определим тип исходного уравнения:− tg(x)cos(x) 1y′ =⋅y+⋅ - это ДУ Бернулли при n = −122ya(x)b(x)ynРазделим обе части уравнения на y −1 :y′ ⋅ y = −tg ( x ) 2 cos( x )⋅y +22Вводим замену: z =1(*)= y 2 , тогда z ′ = 2 y ⋅ y ′ →y −1−1Подставляем полученные выражения в ДУ (*)y′ =z′2ytg ( x )cos( x )z′⋅y=−⋅z+2y22z ′ = − tg ( x ) ⋅ z + cos( x ) - это неоднородное ЛДУ 1-го порядкаСтр.

1Образецв ы п о л н е н и я э т а п а #2Решаем неоднородное ЛДУ методом вариации произвольной постоянной.Сначала решаем соответствующее однородное ЛДУ:z ′ = − tg ( x ) ⋅ zdz= − tg ( x ) ⋅ zdxdz= − tg ( x )dxzdz∫ z = ∫ − tg( x)dxln z = ln cos( x ) + ln Cz = C ⋅ cos( x )В полученном решении заменяем произвольную постоянную на неизвестную функцию:z = C( x ) ⋅ cos( x )Подставляем полученное решение в ЛДУ:(C( x ) ⋅ cos( x ))′ = − tg ( x ) ⋅ C( x ) ⋅ cos( x ) + cos( x )C′( x ) ⋅ cos( x ) − C( x ) ⋅ sin( x ) = − tg ( x ) ⋅ C( x ) ⋅ cos( x ) + cos( x )C′( x ) ⋅ cos( x ) − C( x ) ⋅ sin( x ) = − sin( x ) ⋅ C( x ) + cos( x )C′( x ) ⋅ cos( x ) = cos( x )C′( x ) = 1Находим неизвестную функцию C(x) :C(x) = ∫ 1 ⋅ dx = x + CПодставляем найденное выражениу в решение:z = (x + C ) ⋅ cos( x )Делаем обратную замену: y 2 = (x + C ) ⋅ cos( x )Проверяем потерянные решения:cos(x)0sin(x) 0cos( x ) = 0 - не решение, т.к.

противоречит исходному ДУ: 2y ′ + y ⋅=0yy=0- не решение, т.к. противоречит исходному ДУ: 2 ⋅ 0 ′ + 0 ⋅ tg(x) =Ответ: y 2 = (x + C) ⋅ cos( x )Стр. 2Образецв ы п о л н е н и я э т а п а #2Уравнение б).Дано: (2 y ⋅ cos( x ) + x 2 )dy = ( y 2 ⋅ sin( x ) − 2x ⋅ y)dxОпределить тип и найти общее решение ДУ.Решение:Определим тип исходного ДУ.Проверим является ли данное ДУ уравнением в полных дифференциалах:(− y 2 ⋅ sin( x ) + 2 x ⋅ y)dx + (2 y ⋅ cos( x ) + x 2 )dy = 0M ( x , y)N ( x , y)∂M∂N= −2 y ⋅ sin( x ) + 2 x= −2 y ⋅ sin( x ) + 2 x∂x∂y∂M ∂NТ.к.≡ДУ является уравнением в полных дифференциалах.∂y ∂xБудем искать решение в виде: F( x , y) = C , где∂F= M(x, y) = − y 2 ⋅ sin(x) + 2x ⋅ y∂x∂F= N(x, y) = 2y ⋅ cos(x) + x 2∂yДля поиска решения проинтегрируем N(x, y) =∂Fпо у:∂yF( x , y) = ∫ (2 y ⋅ cos( x ) + x 2 )dy = 2 ⋅ cos( x ) ∫ y dy + x 2 ∫ 1 ⋅ dy = cos( x ) ⋅ y 2 + x 2 ⋅ y + C( x )F(x, y) = cos(x) ⋅ y 2 + x 2 ⋅ y + C(x)Продифференцируем найденную функцию по x и приравняем M(x,y):∂F= − sin(x) ⋅ y 2 + 2x ⋅ y + C ′(x)∂x− sin(x) ⋅ y 2 + 2x ⋅ y + C ′(x) = − y 2 ⋅ sin(x) + 2x ⋅ y ∂F∂xM(x,y)Следовательно C ′( x ) = 0Тогда C( x ) = ∫ 0 ⋅ dx = ĈЗапишем найденную функцию: F( x , y) = cos( x ) ⋅ y 2 + x 2 ⋅ y + ĈОкончательно: F( x , y) = C → cos( x ) ⋅ y 2 + x 2 ⋅ y + Ĉ = C илиcos( x ) ⋅ y 2 + x 2 ⋅ y = CОтвет: cos( x ) ⋅ y 2 + x 2 ⋅ y = CСтр.

3.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы