rpd000004503 (1012709), страница 7
Текст из файла (страница 7)
9.8. Привести уравнение поверхности второго порядка к каноническому виду (определить название поверхности, составить каноническое уравнение, найти каноническую систему координат и построить поверхность в исходной системе координат):
а) 
;
б) 
.
Линейные пространства.doc
Линейные пространства
12.1. Выяснить, является ли линейным пространством данное множество радиусов-векторов с обычными операциями сложения векторов и умножения вектора на число:
а) множество радиусов-векторов, параллельных данной прямой;
б) множество радиусов-векторов, перпендикулярных данной прямой;
в) множество радиусов-векторов, параллельных данной плоскости;
г) множество радиусов-векторов, перпендикулярных данной плоскости;
д) множество единичных радиусов-векторов;
е) множество радиусов-векторов, образующих с данной прямой угол величиной 
. Ответ: а) да; б) да; в) да; г) да; д) нет; е) нет.
12.2. Выяснить, является ли линейным пространством данное множество функций, определенных на 
, с обычными операциями сложения функций и умножения функции на число (
, 
):
а) множество четных функций (
);
б) множество нечетных функций (
);
в) множество периодических функций (с разными периодами);
г) множество периодических функций (с одним и тем же периодом);
д) множество возрастающих функций;
е) множество ограниченных функций;
ж) множество функций, разрывных в нуле.
Ответ: а) да; б) да; в) нет; г) да; д) нет; е) да; ж) нет.
12.3. Выяснить, является ли линейным пространством данное множество матриц с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на число:
а) множество диагональных матриц порядка 
;
б) множество верхних треугольных матриц порядка ;
в) множество треугольных матриц порядка ;
г) множество вырожденных квадратных матриц порядка ;
д) множество невырожденных квадратных матриц порядка .
Ответ: а) да; б) да; в) нет; г) нет; д) нет.
12.4. Найти размерность и базис следующих линейных пространств:
а) пространство четных многочленов степени не выше 
;
б) пространство нечетных многочленов степени не выше 
;
в) пространство тригонометрических многочленов (не выше -го порядка), т.е. функций вида 
.
Ответ: а) размерность: 
; базис: 
, 
,…, 
; б) размерность: ; базис: 
, 
,…, 
; в) размерность: 
; базис: , 
, 
, 
, 
,…, 
, 
. Искомые базисы определены неоднозначно.
12.5. Доказать, что в заданном линейном пространстве система 
векторов образует базис. Разложить вектор 
по данному базису:
а) пространство 
: 
, 
, 
;
б) пространство 
: 
, 
, 
;
в) пространство 
: 
, 
, 
, 
;
г) пространство 
многочленов степени не выше второй: 
, 
, 
, 
.
Ответ: а) 
; б)
;
в) 
; г) 
.
12.6. Найти матрицу 
перехода от базиса 
к базису 
:
а) 
, 
, 
, 
;
б) 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Ответ: а) 
; б) 
.
12.7. Доказать, что в заданном линейном пространстве система векторов образует базис. Разложить вектор по данному базису:
а) пространство 
: 
, 
, 
;
б) пространство : 
, 
, 
, 
;
в) пространство многочленов степени не выше второй: 
, , 
, 
.
12.8. Найти матрицу перехода от базиса к базису :
а) пространство : 
, 
, 
, 
;
б) пространство симметрических матриц второго порядка: 
, 
, 
, 
, 
, 
;
в) пространство многочленов степени не выше второй: 
, 
, 
, 
, 
, 
.
12.9. В пространстве 
заданы подпространства:
а) 
– множество решений системы уравнений:
б) 
– линейная оболочка столбцов 
, 
, 
.
Найти размерности и базисы подпространств.
12.10. В пространстве 
квадратных матриц второго порядка задано множество 
матриц, перестановочных с матрицей 
. Показать, что это множество является линейным подпространством в , найти его размерность и базис.
Линейные отображения.doc
. Линейные отображения
и преобразования
13.1. Выяснить, является ли инъективным, сюръективным, биективным, обратимым, линейным заданное преобразование пространства 
радиус-векторов на координатной плоскости 
:
а) поворот плоскости вокруг начала координат на угол 
;
б) увеличение длины радиус-вектора на единицу при сохранении его направления;
в) симметрия относительно прямой, проходящей через начало координат;
г) сжатие к оси абсцисс с коэффициентом 
(ордината радиус-вектора уменьшается в 
раз);
д) ортогональное проектирование на данную прямую, проходящую через начало координат.
Для линейных преобразований найти ядро, образ, дефект, ранг.
Ответ: а,в,г) преобразование инъективное, сюръективное, биективное, обратимое, линейное, ядро: 
, образ: , дефект: 0; ранг: 2; б) преобразование инъективное, несюръективное, небиективное, необратимое, не является линейным; д) преобразование неинъективное, несюръективное, небиективное, необратимое, линейное, ядро – множество радиусов-векторов, перпендикулярных данной прямой; образ – множество радиусов-векторов, принадлежащих данной прямой; дефект: 1; ранг: 1.
13.2. Найти ядро и образ линейного преобразования 
, которое в стандартном базисе пространства имеет матрицу 
. Указать, является ли преобразование инъективным, сюръективным, биективным, обратимым.
Ответ: 
, 
, преобразование неинъективное, несюръективное, небиективное, необратимое.
13.3. Линейное преобразование 
в базисе 
,
имеет матрицу 
, а линейное преобразование 
в базисе 
,
имеет матрицу 
. Найти матрицу преобразования 
в базисе 
,
. Ответ: 
.
13.4. В стандартном базисе 
, 
, 
в пространстве 
многочленов не выше второй степени с действительными коэффициентами заданы матрицы линейных преобразований:
а) 
; б) 
.
Найти собственные значения и соответствующие собственные векторы этих преобразований.
Ответ: а) 
, 
, 
, 
, 
; б) 
, 
. Комплексные (с ненулевой мнимой частью) корни 
характеристического многочлена не являются собственными значениями преобразования. Собственные векторы определяются неоднозначно.
13.5. Найти линейное преобразование и составить его матрицу относительно стандартного базиса в :
;
;
,
где 
– остаток от деления числа 
на 2; 
– остаток от деления числа 
на 3.
13.6. Найти собственные векторы и собственные значения линейных преобразований 
и 
, если заданы матрицы этих преобразований (относительно стандартных базисов):
а) 
; б) 
.
Версия: AAAAAARxxoc Код: 000004503
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
