rpd000002730 (1011378), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Метод простых итераций решения СЛАУ. Необходимое и достаточное условие сходимости. Погрешность решения. Метод Зейделя решения СЛАУ. Методы релаксации.

1.1.4. Методы решения задачи на собственные значения и собственные векторы матриц(АЗ: 2, СРС: 10)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Собственные значения и собственные векторы матриц, преобразования подобия. Оценка спектрального радиуса степенным методом. Метод вращения нахождения собственных значений и собственных векторов симметрических матриц. QR – разложение матриц. QR-алгоритм нахождения собственных значений матриц. Метод обратных итераций для нахождения собственных векторов.

1.2.1. Методы решения нелинейных уравнений(АЗ: 2, СРС: 5)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Нелинейные уравнения. Основные этапы нахождения корней. Метод половинного деления. Метод простых итераций решения нелинейных уравнений, погрешность, геометрический смысл. Достаточное условие сходимости. Метод Ньютона и метод секущих.

1.2.2. Методы решения систем нелинейных уравнений(АЗ: 2, СРС: 5)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Системы нелинейных уравнений. Графическая интерпретация Метод простых итераций и метод Зейделя, метод Ньютона и его модификации.

1.3.1. Методы приближения функций(АЗ: 4, СРС: 10)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Общая характеристика задач и методов приближения функций. Постановка задачи интерполяции, её единственность в случае полиномиальной интерполяции. Интерполяционные полиномы в форме Лагранжа и форме Ньютона. Погрешность. Тригонометрическая интерполяция. Недостатки глобальной интерполяции. Локальная интерполяция, ее достоинства. Сплайн-интерполяция. Кубические интерполяционные сплайны дефекта 1. Метод наименьших квадратов.

1.3.2. Методы численного дифференцирования и интегрирования(АЗ: 2, СРС: 5)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Численное дифференцирование. Основные формулы. Оценка погрешности.

Численное интегрирование. Формулы прямоугольников и трапеций. Погрешности.

Формула Симпсона. Погрешность. Процедура Рунге-Ромберга оценки погрешности численного интегрирования.

1.4.1. Численные методы решения задачи Коши для ОДУ(АЗ: 4, СРС: 15)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Постановка задачи Коши для ОДУ и систем ОДУ. Метод Эйлера. Модификации метода Эйлера решения задачи Коши для ОДУ и систем ОДУ. Семейство методов Рунге-Кутта. Метод Рунге-Кутта IV порядка.

Многошаговые методы. Семейство методов Адамса решения задачи Коши для ОДУ.

Понятие о жестких системах ОДУ. Неявные методы решения задачи Коши для ОДУ и систем ОДУ.

1.4.2. Численные методы решения краевых задач для ОДУ(АЗ: 4, СРС: 10)

Тип лекции: Информационная лекция

Форма организации: Лекция, мастер-класс

Описание: Постановка краевых задач для ОДУ. Решение краевых задач для ОДУ методом стрельбы.

Решение краевых задач для ОДУ методом конечных разностей. Процедура Рунге-Ромберга оценки погрешности решения краевой задачи для ОДУ.

1. Практические занятия

1.1.1. Нормы векторов и матриц. Обусловленность матриц.(АЗ: 2, СРС: 1)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice1.doc

1.1.2. Прямые методы решения СЛАУ(АЗ: 2, СРС: 1)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice2.doc

1.1.3. Итерационные методы решения СЛАУ (АЗ: 2, СРС: 1)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice3.doc

1.1.4. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц(АЗ: 2, СРС: 1)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice4.doc

1.2.5. Решение нелинейных уравнений(АЗ: 2, СРС: 1)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice5.doc

1.3.7. Полиномиальная интерполяция(АЗ: 2, СРС: 1)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice7.doc

1.3.9. Аппроксимация методом наименьших квадратов (АЗ: 2, СРС: 1)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice9.doc

1.3.10. Численное дифференцирование (АЗ: 2, СРС: 1)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice10.doc

1.3.11. Численное интегрирование (АЗ: 2, СРС: 1)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice11.doc

1.4.12. Одношаговые методы решения задачи Коши для ОДУ (АЗ: 2, СРС: 3)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice12.doc

1.4.13. Решение задачи Коши для систем ОДУ (АЗ: 2, СРС: 10)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice13.doc

1.4.16. Решение краевых задач для ОДУ методом конечных разностей(АЗ: 2, СРС: 2)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice16.doc

1. Лабораторные работы

1. Типовые задания

Приложение 3
к рабочей программе дисциплины
«Численные и вариационные методы »

Прикрепленные файлы

Practice2.doc

Практическое занятие 2. Прямые методы решения СЛАУ. (2 ч, СРС – 1 ч, тема 1, лекция 2).

Пример 1. Методом Гаусса решить СЛАУ.

Р е ш е н и е.

Прямой ход:

Обратный ход:

Ответ: .

Пример 2. Методом Гаусса вычислить определитель матрицы и обратить матрицу СЛАУ из примера 1.1.

Р е ш е н и е.

; (точное значение 946).

Прямой ход.

Обратный ход:

Отсюда

Проверка: ,

т.е. с точностью до ошибок округления получена единичная матрица.

Пример 3. Методом прогонки решить СЛАУ

Р е ш е н и е.

,

.

Practice4.doc

Практическое занятие 4. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц (2 ч, СРС – 1 ч, тема 1, лекция 4).

Пример 1. С точностью вычислить собственные значения и собственные векторы матрицы

Р е ш е н и е.

1). Выбираем максимальный по модулю внедиагональный элемент матрицы , т.е. находим , такой что = . Им является элемент .

2). Находим соответствующую этому элементу матрицу вращения:

.

3). Вычисляем матрицу :

.

В полученной матрице с точностью до ошибок округления элемент .

, следовательно итерационный процесс необходимо продолжить.

Переходим к следующей итерации :

.

.

Переходим к следующей итерации

.

Таким образом в качестве искомых собственных значений могут быть приняты диагональные элементы матрицы :

Собственные векторы определяются из произведения

; .

Полученные собственные векторы ортогональны в пределах заданной точности, т.е.

Пример 2.

Вычислить спектральный радиус матрицы с точностью .

В качестве начального приближения собственного вектора возьмем .

Реализуем итерационный процесс (1.26, лекции), полагая .

, ;

, ;

;

, ;

;

, ;

.

Таким образом, полученное на 4-ой итерации значение =6,9559 удовлетворяет заданной точности и может быть взято в качестве приближенного значения . Искомое значение спектрального радиуса = 6,9559.

Practice1.doc

Практическое занятие 1. Нормы векторов и матриц. Обусловленность матриц (2 ч, СРС – 1 ч, лекция 1).

Пример 1.

Для матрицы и вектора вычислить различные нормы . Проверить выполнение условия согласованности норм для различных комбинаций норм. Вычислить число обусловленности матрицы .

, .

Решение.

Вычислим соответствующие нормы:

, =5, .

, , .

Для проверки условия согласованности вычислим различные нормы вектора .

, = , .

Легко убедиться в том, что условие согласованности выполняется для согласованных норм:

, , .

Кроме того, известно что матричная норма согласована со всеми введенными выше нормами векторов. В данном примере это подтверждается выполнением неравенств:

, .

В то же время использование ряда других комбинаций норм матрицы и вектора приводит в данном случае к нарушению условия согласованности:

, .

Рассмотренный пример наглядно иллюстрирует важность использования согласованных норм матрицы и вектора.

Вычислим число обусловленности матрицы , взяв в качестве нормы матрицы . Для этого найдем сначала обратную матрицу:

и вычислим ее норму:

= .

В результате

=56.

Practice3.doc

Практическое занятие 3. Итерационные методы решения СЛАУ (2 ч, СРС – 1 ч, тема 1, лекция 3).

Пример 1. Методом простых итераций с точностью решить СЛАУ.

Характеристики

Список файлов учебной работы