rpd000002730 (1011378), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Практическое занятие 13. Решение задачи Коши для систем ОДУ (2 ч, СРС – 1 ч, тема 4, лекция 12).
Пример 1. На интервале [0,1] c шагом h=0.2 решить задачу Коши методом Рунге-Кутты 4 порядка.
Численное решение сравнить с аналитическим решением 
.
Р е ш е н и е
Введением новой переменной 
решение исходной начальной задачи для дифференциального уравнения второго порядка сводится к решению системы двух дифференциальных уравнений первого порядка.
Данную систему решим методом Рунге-Кутты с использованием формул
Вычислим значения вспомогательных величин:
; 
;
;
;
;
;
;
;
Найдем приращения функций на первом интервале 
и значения функций в первом узле
;
;
Аналогично получим решения в остальных узлах, результаты вычислений занесем в таблицу.
| k |
|
|
|
|
|
|
|
| 0 | 0.0 | 1.0000000 | 3.000000000 | 0.607999216 | 0.1200E+00 | 1.000000000 | 0.00000 |
| 1 | 0.2 | 1.607999216 | 3.120007088 | 0.655995430 | 0.3600E+00 | 1.607999216 | 0.784E-6 |
| 2 | 0.4 | 2.263994646 | 3.480019051 | 0.751991317 | 0.6000E+00 | 2.263994646 | 0.535E-5 |
| 3 | 0.6 | 3.015985963 | 4.080024218 | 0.895987662 | 0.8400E+00 | 3.015985963 | 0.140E-4 |
| 4 | 0.8 | 3.911973624 | 4.920018746 | 1.087984366 | 0.1080E+01 | 3.911973624 | 0.264E-4 |
| 5 | 1.0 | 4.999957990 | 6.000004180 | 5.000000000 | 0.420E-4 |
Решением задачи является табличная функция (оставлены 5 значащих цифр в каждом числе)
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
| 0.00000 | 0.200000 | 0.4000000 | 0.6000000 | 0.8000000 | 1.000000 |
|
| 1.0000000 | 1.607999216 | 2.263994646 | 3.015985963 | 3.911973624 | 4.99995799 |
Practice16.doc
Практическое занятие 16. Решение краевых задач для ОДУ методом конечных разностей (2 ч, СРС – 1 ч, тема 4, лекция 16).
Пример 1.
Решить краевую задачу 
с шагом 
Решение.
Здесь 
, 
, 
, 
, 
Во всех внутренних узлах отрезка 
после замены производных их разностными аналогами получим
, 
На левой границе 
, на правой границе аппроксимируем производную односторонней разностью 1-го порядка:
.
С помощью группировки слагаемых, приведения подобных членов и подстановки значений 
и с учетом получим систему линейных алгебраических уравнений.
В данной трехдиагональной системе выполнено условие преобладания диагональных элементов и можно использовать метод прогонки.
В результате решения системы методом прогонки получим следующие значения: 
,
,
,
,
.
Решением краевой задачи является табличная функция
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
| 0 | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.8 | 1.0 |
|
| 1.0 | 0.77191 | 0.58303 | 0.43111 | 0.31265 | 0.22332 |
Версия: AAAAAARx8fc Код: 000002730
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
