rpd000001860 (1009027), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

1.3.8. Аппроксимация методом наименьших квадратов (АЗ: 2, СРС: 2)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice9.doc

1.3.9. Численное дифференцирование (АЗ: 2, СРС: 1)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice10.doc

1.3.10. Численное интегрирование (АЗ: 2, СРС: 2)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice11.doc

1.4.11. Одношаговые методы решения задачи Коши для ОДУ (АЗ: 2, СРС: 4)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice12.doc

1.4.12. Решение задачи Коши для систем ОДУ (АЗ: 2, СРС: 4)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice13.doc

1.4.13. Многошаговые методы решения задачи Коши для ОДУ (АЗ: 2, СРС: 4)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice14.doc

1.4.14. Решение краевых задач для ОДУ методом стрельбы (АЗ: 4, СРС: 4)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice15.doc

1.4.15. Решение краевых задач для ОДУ методом конечных разностей(АЗ: 4, СРС: 4)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice16.doc

2.6.1. Численное решение начально-краевой задачи для ДУЧП параболического типа(АЗ: 4, СРС: 2)

Форма организации:

2.7.2. Численное решение начально-краевой задачи для ДУЧП гиперболического типа(АЗ: 4, СРС: 0)

Форма организации:

2.8.3. Численное решение краевой задачи для ДУЧП эллиптического типа(АЗ: 4, СРС: 0)

Форма организации:

2.9.4. Численное решение начально-краевой задачи для двумерного ДУЧП параболического типа(АЗ: 4, СРС: 0)

Форма организации:

1. Лабораторные работы

1. Типовые задания

Приложение 3
к рабочей программе дисциплины
«Численные методы »

Прикрепленные файлы

Practice2.doc

Практическое занятие 2. Прямые методы решения СЛАУ. (2 ч, СРС – 1 ч, тема 1, лекция 2).

Пример 1. Методом Гаусса решить СЛАУ.

Р е ш е н и е.

Прямой ход:

Обратный ход:

Ответ: .

Пример 2. Методом Гаусса вычислить определитель матрицы и обратить матрицу СЛАУ из примера 1.1.

Р е ш е н и е.

; (точное значение 946).

Прямой ход.

Обратный ход:

Отсюда

Проверка: ,

т.е. с точностью до ошибок округления получена единичная матрица.

Пример 3. Методом прогонки решить СЛАУ

Р е ш е н и е.

,

.

Practice4.doc

Практическое занятие 4. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц (2 ч, СРС – 1 ч, тема 1, лекция 4).

Пример 1. С точностью вычислить собственные значения и собственные векторы матрицы

Р е ш е н и е.

1). Выбираем максимальный по модулю внедиагональный элемент матрицы , т.е. находим , такой что = . Им является элемент .

2). Находим соответствующую этому элементу матрицу вращения:

.

3). Вычисляем матрицу :

.

В полученной матрице с точностью до ошибок округления элемент .

, следовательно итерационный процесс необходимо продолжить.

Переходим к следующей итерации :

.

.

Переходим к следующей итерации

.

Таким образом в качестве искомых собственных значений могут быть приняты диагональные элементы матрицы :

Собственные векторы определяются из произведения

; .

Полученные собственные векторы ортогональны в пределах заданной точности, т.е.

Пример 2.

Вычислить спектральный радиус матрицы с точностью .

В качестве начального приближения собственного вектора возьмем .

Реализуем итерационный процесс (1.26, лекции), полагая .

, ;

, ;

;

, ;

;

, ;

.

Таким образом, полученное на 4-ой итерации значение =6,9559 удовлетворяет заданной точности и может быть взято в качестве приближенного значения . Искомое значение спектрального радиуса = 6,9559.

Practice3.doc

Практическое занятие 3. Итерационные методы решения СЛАУ (2 ч, СРС – 1 ч, тема 1, лекция 3).

Пример 1. Методом простых итераций с точностью решить СЛАУ.

Р е ш е н и е.

Приведем СЛАУ к эквивалентному виду:

или

где ; ;

, следовательно достаточное условие сходимости метода простых итераций выполнено.

Итерационный процесс выглядит следующим образом.

; ; ;

;

;

; .

Таким образом, вычислительный процесс завершен за 4 итерации. Отметим, что точное решение исходной СЛАУ в данном случае известно . Отсюда следует, что заданной точности удовлетворяло решение, полученное уже на третьей итерации. Но в силу использования для вычисления погрешности оценочного выражения (1.20) (видно, что в данном случае , при этом , хотя ) процесс останавливается только на четвертой итерации.

Отметим также, что априорная оценка необходимого количества итераций в данной задаче дает: , т.е. для достижения точности , согласно априорной оценке, необходимо сделать не менее пяти итераций, что иллюстрирует характерную для априорной оценки тенденцию к завышению числа итераций.

Пример 2. Методом Зейделя решить СЛАУ из примера 1.

Р е ш е н и е.

Приведение СЛАУ к эквивалентному виду аналогично примеру (1.5). Диагональное преобладание элементов исходной матрицы СЛАУ гарантирует сходимость метода Зейделя.

Итерационный процесс выглядит следующим образом:

Таким образом, уже на второй итерации погрешность , т.е. метод Зейделя в данном случае сходится быстрее метода простых итераций.

Practice6.doc

Практическое занятие 6. Решение систем нелинейных уравнений (2 ч, СРС – 1 ч, тема 2, лекция 6).

Пример 1. Методом Ньютона найти положительное решение системы нелинейных уравнений

с точностью .

Решение. Для выбора начального приближения применяем графический способ. Построив на плоскости в интересующей нас области кривые и , определяем, что положительное решение системы уравнений находится в квадрате .

За начальное приближение примем .

Для системы двух уравнений расчетные формулы удобно записать в виде разрешенном относительно ,

где ,

, .

В рассматриваемом примере:

,

, .

Подставляя в правые части соотношений выбранные значения , получим приближение , используемое, в свою очередь, для нахождения . Итерации продолжаются до выполнения условия , где

.

Результаты вычислений содержатся в таблице.

k
0	0.25000 0.75000	0.06875 0.04375		1.01250 0.02500	0.30000 0.97500	0.05391	0.04258	0.97969
1	0.19498 0.70654	-0.00138 0.00037		1.00760 0.00734	0.28262 0.98050	-0.00146	0.00038	0.98588
2	0.19646 0.70615	0.00005 0.00000		1.00772 0.00797	0.28246 0.98035	0.00005	0.00000	0.98567
3	0.19641 0.70615

.

Пример 2. Найти положительное решение системы из примера 1 методом простой итерации с точностью .

Решение. Преобразуем исходную систему уравнений к виду

Проверим выполнение условия , в области : , . Для этого найдем

Так как , ,

, ,

то в области имеем

.

Следовательно, если последовательные приближения не покинут области (что легко обнаружить в процессе вычислений), то итерационный процесс будет сходящимся.

В качестве начального приближения примем . Последующие приближения определяем как

где ,

Вычисления завершаются при выполнении условия

,

где .

Результаты вычислений содержатся в таблице.

k
0	0.25000 0.75000	0.18125 0.70702
1	0.18125 0.70702	0.19674 0.70617
2	0.19674 0.70617	0.19639 0.70615
3	0.19639 0.70615	0.19641 0.70615
4	0.19641 0.70615

.

Practice5.doc

Практическое занятие 5. Решение нелинейных уравнений (2 ч, СРС – 1 ч, тема 2, лекция 5).

Характеристики

Список файлов учебной работы