rpd000000596 (1006569), страница 7
Текст из файла (страница 7)
8.8. Плоскость проходит через точки ,
,
. Составить для этой плоскости:
а) общее уравнение; б) параметрическое уравнение.
8.9. Установить взаимное расположение каждой пары плоскостей (пересечение, перпендикулярность, параллельность, совпадение):
Ответ: а) пересекаются; б) параллельны; в) совпадают; г) перпендикулярны.
8.10. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку и отсекающей на координатных осях равные положительные "отрезки". Ответ:
.
8.11. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку и ось абсцисс. Ответ:
.
8.12. Составить уравнение плоскости "в отрезках", проходящей через точку и параллельной плоскости
. Ответ:
.
8.13. Прямая проходит через точки ,
. Составить для этой прямой: а) общее уравнение; б) параметрическое уравнение; в) каноническое уравнение.
8.14. Установить взаимное расположение каждой пары прямых (скрещивающиеся, пересекающиеся, перпендикулярные, параллельные, совпадающие):
Ответ: а) пересекающиеся в точке ; б) перпендикулярные, скрещивающиеся; в) совпадающие; г) перпендикулярные, пересекаются в точке
; д) параллельные.
8.15. Найти ортогональную проекцию точки
на плоскость, проходящую через точку
и прямую
. Ответ:
.
8.16. Найти точку , симметричную точке
относительно прямой, проходящей через точки
и
. Ответ:
.
8.17. Составить каноническое уравнение проекции прямой на плоскость
. Ответ:
.
8.18. Составить уравнение общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым и
. Ответ:
.
8.19. Установить взаимное расположение пар, образуемых прямой и плоскостью (пересечение, перпендикулярность, параллельность, принадлежность прямой плоскости):
Ответ: а) прямая пересекает плоскость в точке ; б) прямая перпендикулярна плоскости и пересекает ее в точке
; в) прямая параллельна плоскости; г) прямая принадлежит плоскости.
8.20. Заданы координаты вершин ,
,
треугольника
. Составить уравнения прямых, проходящих через вершину
и содержащих медиану, высоту и биссектрису треугольника, а также уравнение серединного перпендикуляра к стороне
, принадлежащего плоскости треугольника.
8.21. В пространстве заданы три прямые:
Найти величину угла между скрещивающимися прямыми. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые.
8.22. Заданы координаты вершин ,
,
,
треугольной пирамиды
. Требуется:
а) составить общее уравнение плоскости грани ;
б) найти расстояние от вершины до плоскости грани
;
в) найти величину угла между плоскостями граней и
;
г) найти угол между ребром и плоскостью грани
пирамиды;
д) найти проекцию вершины на плоскость основания
;
е) составить каноническое уравнение прямой, проходящей через вершину и точку
пересечения медиан треугольника
;
ж) найти угол между прямыми и
;
з) найти расстояние между прямыми и
;
и) найти ортогональную проекцию вершины
на прямую
;
к) составить уравнение прямой, симметричной прямой относительно плоскости основания
.
Алгебраические линии и поверхности второго порядка.doc
Занятие 9. Алгебраические линии и поверхности второго порядка.
9.1. Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду (определить название линии, составить каноническое уравнение, найти каноническую систему координат, указать формулы преобразования координат и построить линию в исходной системе координат):
Ответ: а) эллипс ;
,
; б) гипербола
;
,
; в) парабола
;
,
; г) пара пересекающихся прямых
;
,
; д) эллипс
;
,
; е) гипербола
;
,
; ж) парабола
;
,
; з) пара пересекающихся прямых
,
,
; и) пара параллельных прямых
,
,
. Формулы преобразования координат определяются неоднозначно.
9.2. На координатной плоскости изобразить эллипсы
Для каждого эллипса найти фокусное расстояние, коэффициент сжатия, фокальный параметр и эксцентриситет, координаты центра, фокусов и вершин.
9.3. На координатной плоскости изобразить гиперболы
Для каждой гиперболы найти фокусное расстояние, фокальный параметр и эксцентриситет; координаты центра, фокусов и вершин, составить уравнения асимптот.
9.4. На координатной плоскости изобразить параболы
Для каждой параболы найти ее параметр, координаты вершины и фокуса, составить уравнение директрисы.
9.5. Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду (определить название линии, составить каноническое уравнение, найти каноническую систему координат и построить линию в исходной системе координат):
9.6. Определить названия линий второго порядка, получающихся в сечениях поверхности плоскостями: а)
; б)
; в)
.
Ответ: а) гипербола; б) пара пересекающихся прямых; в) гипербола.
9.7. Привести уравнение поверхности второго порядка к каноническому виду (определить название поверхности, составить каноническое уравнение, найти каноническую систему координат, указать формулы преобразования координат и построить поверхность в исходной системе координат):
Ответ: а) однополостный гиперболоид (вращения) ;
,
,
; б) конус (круговой)
;
,
; в) параболический цилиндр
;
,
,
; г) эллипсоид
;
,
,
; д) конус
;
,
,
; е) двуполостный гиперболоид
;
,
,
; ж) гиперболический параболоид
;
,
,
. Формулы преобразования координат определяются неоднозначно.
9.8. Привести уравнение поверхности второго порядка к каноническому виду (определить название поверхности, составить каноническое уравнение, найти каноническую систему координат и построить поверхность в исходной системе координат):
РГР АиАГ 2 сем. 8 фак.doc
расчетно – графическая работа
по алгебре и аналитической геометрии
Факультет № 8 Семестр 2
2007-2008
Во всех задачах – последняя цифра номера группы,
– номер студента по списку группы.
1. Образует ли линейное пространство над полем действительных чисел заданное множество с указанными операциями? Если образует, то найти размерность; если она конечна, то найти базис. (Варианты задач указаны ниже)
2. Найти координатный столбец вектора
в базисе
, если заданы координатный столбец
в базисе
и формулы, связывающие базисы:
,
,
.
3. Найти линейное преобразование и составить его матрицу относительно стандартного базиса в :
где – остаток от деления числа
на 2;
– остаток от деления числа
на 3.
4. Найти матрицу линейного преобразования в базисе , если оно задано в базисе
матрицей
, а
– матрица перехода от базиса
к базису
:
5. Задано преобразование трехмерного пространства – множества радиус-векторов с обычными операциями сложения векторов и умножения векторов на число со стандартным базисом
,
,
. (Варианты задач указаны ниже)
5.1. Является ли это преобразование инъективным, сюръективным, биективным, обратимым?
5.2. Доказать линейность этого преобразования.
5.3. Найти ядро, образ, дефект, ранг, инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения.
5.4. Составить матрицу этого преобразования относительно стандартного базиса.
6. Линейное преобразование задано в некотором базисе матрицей
Найти жорданову нормальную форму матрицы преобразования и матрицу
перехода к жорданову базису.
7. В пространстве многочленов степени не выше второй скалярное произведение задано формулой:
7.1. Найти ортонормированный базис, применяя процесс ортогонализации к стандартному базису: ,
,
.
7.2. Найти ортогональную проекцию элемента пространства
на подпространство
– многочленов степени не выше первой.
8.1. Привести квадратичную форму к каноническому виду