03Pril_3_2010 (1006410), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Вывод формулы Эйлера

е^iХ= cosX+isinX.

е — это число равное 2,718281828.. π - так же число: π =3.14..

"i" это "мистическое" число, квадрат которого равен -1. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА связывает эти числа.

Теорема: е ^{π i} = -1.

1. При доказательстве мы будем ис­пользовать бином Ньютона: (a+b)ⁿ=aⁿ+C¹_na^n-1b+C²_na^n-2b²+C³_na^n-3b³+…bⁿ , где n - натуральное число, С^k_n=n!/k!(n-k)!.

2. Как известно е = Lim ( 1 + 1/n)ⁿ, где n стремится к бесконечности. Применим к этому выражению формулу бинома Ньютона: ( 1 + 1/n)ⁿ=1+ n/1!_*1/n+ n(n-1)/2!_*1/n²+ n(n-1)(n-2)/3!_*1/n³+…

(здесь

знак "_* "- умножение и мы выписали только первые члены раз­ложения). Перейдём в обеих частях равенства к пределу устремив n к бесконечности и получим следующее разложение в ряд:

e=1+1/1!+1/2!+1/3!+… .

Aналогично получим следующее разложение:

e^x=lim(1+x/n)ⁿ=1+x+x²/2!+x³/3!+…

Это разложение впервые было получено Эйлером, и в его честь введена буква е - первая буква фамилии Еulег.

Функция е^х обладает многими замечательными свой­ствами. В частности, все её производные в точке 0 равны 1.

3. Далее воспользуемся формулой Тейлора:

f(x)= f(0)+x*f^!(0)/1!+x²*f^!!(0)/2!+x³*f^!!!(0)/3!...

чтобы разложить в ряд функции sinx и cosx.

Поскольку (sinx)^! =cosx, а (cosx)^!= -sinx, то получаем:

sinX=X-X3/3!+X5/5!-…(-1)ⁿ*X²ⁿ⁺¹/(2n+1)! и

cosX=1-X²/2!+ X⁴/4!-... .

4. Гениальная идея Эйлера состоит в том, что фор­мулу для е^х можно применять не только к действительным, но и к комплексным числам:

e^z=1+z+z²/2!+z³/3!+z⁴/4!+z⁵/5!+…

где z — произвольное комплексное число. Подставим в эту формулу z= πi (где i — мнимая единица, т.е. i²=-1):

е ^πi=1+ πi+( πi)²/2!+ (πi)³/3!+…

=1+i π - π ²/2!- iπ ³/3!+ π⁴/4!+i π ⁵/5!-…

=(1- π ²/2!+ π ⁴/4!-…)+i(π - π ³/3!+ π ⁵/5!-…)=

= cosπ +isinπ = -1.

Теорема доказана. А вместе с ней и формула Эйлера, на которую опирается вся электротехника и радиотехника:

е^iХ= cosX+isinX.

Можно очень многое сказать о Лео­нарде Эйлере (1707-1783) — гениальном математике, физике, механике и астрономе, прожившем значительную часть своей жизни в России и похороненном в Санкт-Петербурге.

Леонард Эйлер — один из величайших тружеников в исто­рии науки. Ему принадлежит 865 исследований по самым раз­нообразным проблемам. Все учёные, совре­менники Эйлера, делились с ним плодами своих размышлений, просили высказать своё суждение по интересующим их про­блемам и всегда находили отклик. Переписка Эйлера занимает свыше 3000 писем.

Душевная красота Эйлера отразилась во множестве его поступков. Молодой Лагранж посвятил Эйлера в свои иссле­дования, Эйлер направил ему письмо со словами:

«Твоё аналитическое решение про­блемы содержит всё, что можно желать в этой области. Важность вопроса побудила меня к тому, что я с помощью твоего осве­щения сам вывел аналитическое решение; однако, решил скрывать это, пока ты не опубликуешь свои результаты, так как я никоим образом не хочу отнимать часть заслуженной тобою славы» (Лагранжу было тогда 23 года).

Из книги В.М. Тихомирова "Великие математики прошлого" М 1999г. Центр математического образования.

Приложение 9.

Вывод формулы Г. Найквиста.

Вывод формулы Найквиста настолько красив, что его нельзя не привести. (Найквист 1899-1976)

Пусть мы имеем идеальную двухпроводную линию без потерь длиной L и волновым сопротивлением W=R. Эта линия нагружена с двух сторон резисторами величиной R каждое, как показано на рис П.9. Таким образом линия согласована. Если напряжение ЭДС шума каждого резистора e, то каждый резистор отдает в нашу линию (и поглощает из нее) мощность е²/4R. Очевидно эта мощность пробегает (распространяется) вдоль линии W. Одновременно мысленно замкнем линию с двух сторон (замкнем наши сопротивления). Распространявшаяся в ней мощность будет замкнута. Наша линии без потерь и мощность никуда не денется, останется в виде стоячих волн. Таким образом мощность е²/4R равномерно распределится по всем частотам стоячих волн (или по всем степеням свободы колебаний) линии W. На каждую степень свободы придется энергия кТ. Энергия равна произведению мощности на время ее действия. У нашей линии длина L произвольна, она определяет время пробега t_п = СL, где С - скорость света. Каждая степень свободы имеет колебания с полосой частот одной моды стоячей волны dF = 1/t_п=1/СL). Таким образом мощность на одну степень свободы: kT/t_п = кТdF= е²/4R, откуда е²=4кТRΔF. Это и есть формула Найквиста.

Приложение 10

Потенциалы деполяризации желудокв в стенке миокарда, снятые иглой со встроенными по длинне 24мя электродами

ПРИЛОЖЕНИЕ 11

Проверка гипотез

Пусть мы зарегистрировали реализацию u(t) (или приняли вектор u_n→) параметров обследования. Считаем, что принятой реализации соответствует набор признаков S₁. Приняли решение. Правильно ли наше утверждение? Мы знаем, что возможны S₂ и другие. Будем считать, что получение каждого параметра сопровождалось маскирующими нарушениями с известными статистическими характеристиками. Тогда можно записать вероятность появления реализации u_n→ для двух случаев: когда u_n→/S₁ и соответствует принятой гипотезе Н_S1 или когда соответствует конкурирующей гипотезе Н_S2.

Для каждой гипотезы вероятность появления реализации u_n→ записывается как условная вероятность: р(u_n/S₁) или р(u_n/S₂). Однако нас интересует не апостериорная вероятность реализации р(u_n/S), а "обратная" вероятность появления признаков р(S_i/u_n), i=1,2. Мы хотим удостовериться, каким был набор признаков S в полученной совокупности признаков u_n→.

Обратная вероятность находится из правила умножения вероятностей (Бейес):

Будем считать известными априорные вероятности р_а(S₁) и р_а(S₂). Тогда апостериорные вероятности р(S_i/u_n) найдены и задача решена. Мы можем сказать: "с такой то вероятностью правильна гипотеза Н_S1. Зная последствия ошибок, можно сказать, допустима ли такая вероятность.

О бычно мы оперируем не с вероятностями, а с их плотностями. Для перехода к вероятностям надо на графике плотностей указать области, в которых нам необходимо определить вероятность. Например, как показано на рис П.10.1. По оси абцис располагаются принятые точки реализации u_n→, по оси ординат плотности вероятностей для разных признаков S₁ и S₂. Далее выделяем по оси абцисс u_n→ площади, которые определят вероятности правильности гипотез Н_S1 и Н_S2. Выделение площадей (областей) осуществляется указанием их границ. В нашем случае граница обозначена точкой П (Порог). Выделенная вероятность Р(S₂/u_n) соответствует утверждению об отсутствии набора признаков и равна отсекаемой площади на области от границы до бесконечности, вероятность Р(S₁/u_n) в той же области - утверждению о наличии набора.

Решающее правило

Указание вероятностей событий дает полные основания для принятия решения. Выше мы описали следующее решающее правило (См рис П.10.1): если вектор u_n→ попал в область, находящуюся правее точки П до бесконечности, то принимаем решение, что сигнал S₁ присутствует. Этому решению соответствует вероятность правильного утверждения Р(S₁/u_n) и вероятность ошибочного Р(S₂/u_n). В случае попадания u_n→ в область, находящуюся левее точки П (Порог) до минус бесконечности- принимаем решение об отсутствии сигнала S₁ (присутствует S₂) с вероятностью правильного утверждения Р(S₂/u_n) и вероятностью ошибочного Р(S₁/u_n)- пропуск сигнала. Сформированное решающее правило: пространство существования принимаемых реализаций u_n→ делится на области (устанавливаемые границей П), в каждой области приписывается ее сигнал (у нас S₁ или S₂). При попадании u_n→ в область принимается соответствующее решение. Каждому решению соответствуют вероятности правильного и ошибочного решения. В нашем случае это вероятности ложного обнаружения S₁ - ложная тревога и пропуска S₁. Изменение границ областей изменяют эти вероятности, мы устанавливаем границы с учетом возможных неприятностей (потерь) от ошибок (частоты появления ошибок).

В технической реализации оказалось удобным другое решающее правило с сохраняем прежней ось ординат, а по оси абцисс откладываем отношение плотностей апостериорных вероятностей. Это отношение представляет монотонную кривую в пределах от 0 до +оо. Рассмотренное выше разбиение на области с выделением границы соответствует установке порогового значения П на этой кривой, выше и ниже которого располагаются выделенные области принятия решений. В этом случае решающее правило для каждой принятой реализации u_n→ включает процедуру нахождения отношения апостериорных вероятностей и сравнения результата с заранее выбранным порогом. При превышении порога утверждается гипотеза Н_S1, при отсутствии превышения - Н_S2. Величина порога однозначно связана с разбиением пространства сигналов и вероятностями правильного и ошибочного решения.

Нам нужен только факт пересечения порога, следовательно с полученной функцией отношения апостериорных вероятностей мы можем производить любые монотонные преобразования (обычно используют взятие логарифма).

Каждый шаг в последовательности наблюдения и преобразований сигналов удобно выделять как переход в самостоятельное пространство. Для наших преобразований такие пространства представлены в таблице 1.

Таблица 1

(априорное - до опыта, до эксперимента. Апостериорное - с учетом результатов опыта, эксперимента).

Последовательный анализ Вальда

Передвигая порог решающего правила мы уменьшаем значение одной ошибки, но вторая при этом возрастает. Такое нас может не удовлетворять. Как не "оптимизируй" выбором границ распределения ошибок, общая их величина может оказаться недопустимой. Значит необходимы дополнительные обследования, эксперименты, наблюдения. Теория обнаружения с изменяемой продолжительностью экспериментов была создана Вальдом. Он предложил устанавливать не одну, а две границы (два порога) в области принятия решений. Между ними выделяется средняя область. Если при вектор апостериорной реализации u_n→ попадает в эту среднюю область (т.е. находится между порогами), то решение принимать нельзя, необходимо продолжать испытания (обследование) до тех пор, пока новый вектор u_n→ не попадет в установленные нами крайние области принятия решений. Сами же пороги принятия решений можно устанавливать задавая сколь угодно малыми величины вероятностей ошибок (рис П.10.2). Однако продолжительность испытаний (обследований) увеличивается и становится случайной величиной. Но по сравнению с процедурой фиксированной длительности обследования (или набора процедур обследования) при тех же значениях заданных допустимых величин ошибок двухпороговое решающее правило приводит к сокращению требуемого времени обследования в среднем в 2-3 раза. В оптимизации структуры последовательности диагностического обследования заложены большие возможности повышения эффективности.

Характеристики

Список файлов лекций