Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Справедливо и обратное:

.

П реобразование переводит нас из пространства времени в пространство спектров и обратно. Как и ранее, интегральное преобразование удобно обозначать значком соответствия " ": т.е. f(t) s(w). Отметим, что 1) периодическая функция после интегрального преобразования Фурье дает решетчатую спектральную плотность с бесконечными значениями на частотах, кратных обратной величине периода функции. Эти бесконечные плотности спектра (в виде δ - функций) соответствуют вполне конечным значениям спектральных коэффициентов ряда Фурье сi.

2) Дифференцирование функции во временном пространстве эквивалентно умножению ее спектра на jw (а интегрирование - на 1/jw).

Обобщенные преобразования Фурье. Преобразование Фурье обобщается на целый тип интегральных преобразований с функцией ядра :

и обратно: .

Для преобразования Фурье =exp(-j2πwt). Для преобразования Лапласа , Преобразование с ядром типа δ- функции выделяет амплитуду функции в заданной точке. Преобразование с ядром 1/(τ-t) связывает две составляющие вектора сигнала для нахождения его огибающей (преобра-зование Гильберта). Особо выделим ядра с запаздывающим аргументом =u(t-τ). Преобразования с этим ядром называются "сверткой" функций:

или U(t)=f(t) s(t-τ), где операция свертки обозначается значком " " (ранее интегральное преобразование с таким ядром называли интегралом Дюамеля).

Операция свертки дополняет преобразование Фурье. Если есть две функции f(t) s(w), u(t) v(w), и ищется спектр их произведения, то спектр произведения функций имеет вид свертки соответствующих спектров:

f(t) u(t) s(w) v(w), и обратно, спектр свертки функций равен произведению их спектров: f(t) u(t) s(w) v(w).

Многие преобразования описываются процедурой перемножения функций. Это и гетеродинное преобразование частоты в радио приемниках (умножение сигнала на sin2πwt), и модуляция, и выделение малого участка из длинного сигнала умножением на прямоугольный импульс 0-1, это и любой выключатель, ключ в схеме: все они являются перемножителями сигнала на функцию скачка 0 - 1. Это и АЦП - аналогово цифровое преобразование. Спектр результата операций перемножения находится сверткой исходных спектров (рис П.2.3.).

Интегральные преобразова­ния позволили сделать целый ряд замечательных выводов, например показать связь между частотной и фазовой характеристикой фильтров без указания на конкретные структуры фильтра или дать критерий физической реализуемости фильтра с произвольной частотной характеристикой. Физически реализуемым фильтром будем считать фильтр, отклик которого на δ импульс не начинается ранее самого воздействия δ -импульса. Интегральное условие физической реализуемости фильра Ф(w) имеет вид:

Э
тот интеграл должен быть сходящимся (теорема Пели - Винера). Здесь Ф(w)-наша произвольная частотная характеристика, w- частота. Отклик фильтра с частотной характеристикой Ф(w) тождественно равен нулю для t<0.

Приложение 3

Разложение функций по ортогональным полиномам

Базисный ряд синусоид хорошо применим для композиции осцилирующих функций, однако многие функции монотонны. Для них удобнее другие базисные системы, например на основе полиномов типа А+Бх+Сх²+... Для обеспечения свойств ортонормированности полином А+Бх+Сх²+... перегруппируется, тогда он называется полиномом Лежандра: аР₀+бР₁+сР₂… . Покажем последовательность перегруппировки:

Р₀=1, Обратно: 1=Р₀,

Р₁=х, х=Р₁,

Р₂=1/2(3х²-1), х²=1/3(2Р₂+Р₀),

Р₃=1/2(5х³-3х), х³=1/5(2Р₃+3Р₁),

Р₄=35/8х⁴-15/4х²+3/8, и т.д.

Многочлены Лежандра ортогональны на интервале Х= -1,+1.

Кроме полиномов Лежандра используются ортогональные полиномы Чебышева, Лаггера, Эрмита и др. Они отличны тем, что исходный полином типа А+Бх+Сх²+... умножается на весовую функцию Ф(х). У них различны интервалы существования. При этом ортогональность достигается только с учетом весовой функции:

.

где [a,b]- интервал ортогональности, Аn является квадратом нормы каждого члена ряда, n - номер члена ряда. Для приведения к ортонормированному виду каждый член ряда необходимо разделить на . Список некоторых весовых функций собран в таблице 2:

Таблица 2

Вид графика первых членов перечисленных полиномов показан на рис П.3.1.

Отметим еще базисную систему меандровых функций Уолша. На рис П.3.2 показана форма разложения непрерывной функции по меандровым полиномам Уолша. Каждый член полинома принимает только два значения +1 и -1. Такое дискретное представление обе­спечило широкое их применение в вычислительной технике. Система полиномов Уолша ортогональна на интервале 0-N (обычно приводится к интервалу 0-1). Функции Уолша часто упоминаются рядом с фамилиями Адамара, Пелли, Радамахера, развивавших подобные системы меандровыых функций.

В
заключение отметим, что преобразование функции к точечным отсчетам Котельникова/Уиттакера так же является формой преобразования Фурье.

Приложение 4

Искажение сигнала во входном фильтре.

Метод парных эхо

Метод впервые опубликован в 1930г. Согласно процедуре двойного преобразования Фурье выходное напряжение фильтра описывается формулой:

где Ф(ω) - частотная характеристика фильтра, на выходе которого мы ищем форму сигнала, а F(ω) - спектр входного неискаженного сигнала. Найти искажения гармонического сигнала очень просто, они определяются отклонением частотной характеристики фильтра Ф(ω) от 1. Однако с импульсным сигналом все значительно сложнее.

Будем считать Ф(ω) характеристикой ФНЧ. В области малых отклонений от 1 его форму можно аппроксимировать косинусоидой:

F(jw)=а₀Ф(0)+a₁Ф(0)cos(2πw/L)+а₂Ф(0)cos(4πw/L)+… (3)

Используем формула Эйлера:

cosX=1/2(exp(jwX)+exp(-jwX)). (4)

После подстановки в исходное выражение (2) получаем выходной сигнал в виде неискаженного исходного и "парных эхо", сдвинутых на +/- L. Именно они искажают сигнал.

f_вых(t)=a₀Ф(0)f_вх(t)+a₁Ф(0)f_вх(t-1/L)+Ф(0)f_вх(t+1/L))+... /5/.

Выражение (5) позволяет найти искажения в каждой точке импульсного сигнала.

Метод разложения в ряд Тейлора

Можно упростить процедуру нахождения искажений выходного сигнала. Для этого нужно использовать разложение частотной характеристики фильтра в ряд Тейлора. Пусть попрежнему Ф(jw) частотная характеристика фильтра. Будем считать, что в полосе частот полезного сигнала неравномерности коэффициента передачи не велики. Тогда разложение в ряд Тейлора по степеням (jw) вокруг точки w=0 быстро сходится:

Ф(0+jw)= Ф(0)+(jw)_*Ф`(0)+(jw)²Ф``(0)/2! ...(6),

где Ф(0)-значение частотной характеристики в точке 0, а Ф`, Ф``...- производные по ω в точке 0.

Форму сигнала f(t) на выходе фильтра находится по стандартной формуле преобразования Фурье через спектр сигнала F(w) <═> f(t):

П
одставляя разложение /6/ в интеграл /2/ и замечая, что умножение спектра на jw соответствует взятию производной сигнала f(t), получаем:

f_вых(t)=Ф(0)f_вх(t)+Ф'(0)f '_вх(t)+Ф"(0)f "_вх(t)/2!+..../3/

Обычно мы наблюдаем только f_вых(t). В силу фактора малости искажений мы можем в правой части /3/ f_вх(t) заменить на f_вых(t) и получим окончательно:

f_вых(t)=Ф(0)f_вых(t)+Ф' (0)f '_вых(t)+ Ф"(0)f "_вых(t))/2!+…/7/

Выражение /7/ приближенное в силу замены f_вх(t) на f_вых(t), однако используя последовательность итераций можно получить желаемую точность. Особо подчеркнем, что значения погрешности находятся в любой заданной точке сигнала f_вых(t).

Характеристики

Список файлов лекций