Т.П. Лукашенко - Математический анализ (формулировки) (1004022)
Текст из файла
Математический анализ — формулировкиЛектор — Т. П. ЛукашенкоI курс, 2 семестр, поток математиковДанное издание представляет собой все леммы, теоремы и т. п. из курса математического анализа Т. П. Лукашенко во второмсеместре. Основная цель — помочь в запоминании основных теорем курса, для улучшения понимания сути курса. Набор осуществлёнСергеем Шашковым. Отсутствие лажи не гарантируется.Последняя компиляция: 7 сентября 2005 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.Билет 1.Определение. Неперекрывающиеся отрезки.Определение. Разбиение отрезка.Определение. Отмеченное разбиение.nPPОпределение.
Суммаf ∆x =f (ξ)|∆i | называется интегральной суммой функции f , соответствующейTi=1отмеченному разбиению T отрезка [a, b].Определение. Масштаб.Определение. Интегралы Римана, Мак-Шейна, Курцвейля – Хенстока.Определение. Базы R, M, H, в частности BH = {Bδ(x) | Bδ(x) = {T | ξi ∈ ∆i , ∆i ⊂ Bδ(ξi ) (ξi )}}Лемма 1. Для любого масштаба δ(x) > 0 на [a, b] существует согласованное разбиение H .Следствие 1. Все элементы баз не пусты.Интегралы - пределы по соответствующим базам.Свойства интегралов1◦ Если f интегрируема по R или по M и I – её интеграл, то f интегрируема по H и I её интеграл.2◦ Если интеграл в любом смысле существует, то он единственен.3◦ Линейность по функциям.4◦ Переход к неравенству.Определение.
Критерий Коши: функция f имеет конечный предел по базе B, если f определена на некотором элементе базы и ∀ε > 0 ∃B ∈ B | ∀x, x′ ∈ B |f (x) − f (x′ )| < ε.Определение. Критерий Коши существования интегралов R , M , H .Теорема 2 (об интегрируемости на подотрезках). Если f интегрируема на [a, b], то f интегрируемана любом подотрезке в том же смысле.Билет 2.Теорема 3 (необходимое условие R ). Если f ∈ R [a, b], то f ограничена на [a, b].Теорема 4 (аддитивность интеграла по отрезкам). Если f интегрируема на [a, b] и на [b, c] в одномRcRbRcсмысле то f интегрируема на [a, c] в том же смысле и a f dx = a f dx + b f dx.Теорема 5 (формула Ньютона-Лейбница).
Если f определена на [a, b], F ∈ C[a, b] и F ′ (x) = f (x) всюдуна [a, b], кроме не более чем счетного множества точек (к.с.м.), то f интегрируема на [a, b] в смысле H , иRb(H) a f dx = F (b) − F (a).Следствие 2. Если f определена на [a, b], F – её обобщенная производная, то f интегрируема на [a, b] поRbH и (H) a f dx = F (b) − F (a).Следствие 3. Если F1 , F2 ∈ C[a, b] и F1′ (x) = F2′ (x) ∈ R всюду к.с.м. на [a, b], то F1 (x) − F2 (x) постояннана [a, b].Билет 3.1Определение. Для любого E ⊂ R верхняя мера µ∗ E = S infi li ⊃EPi|li |, где {li } - система интервалов, покры-вающая E. Если брать вместо интервалов отрезки, то получится эквивалентное определение.∗∗1◦ Если E ⊂ DS ⊂ R, то µ E 6∗µ D. P ∗◦2 Если E ⊂ i Ei , i ∈ N, то µ E 6 i µ Ei .P∞Лемма 6.
Если дан ряд неотрицательных чисел k=1 ak , ak > 0, то при любой его перестановке суммаего не меняется.Определение. Множество меры нуль по Лебегу:1◦ Подмножество множества меры нуль по Лебегу – множество меры ноль по Лебегу.2◦ Не более, чем счетное объединение множеств меры нуль – множество меры нуль.Определение.
Колебанием функции f на множестве E называется OscE f = supx,y∈E |f (x) − f (y)|.Лемма 7. Если f действительнозначна на E, то OscE f = supE f − infE f .nЛемма 8. Если {∆Pi }i=1 – разбиение [a, b], ∆ = [c, d] ⊂ [a, b], то невырожденные отрезки ∆ ∩ ∆i образуютразбиение ∆ = [c, d] и i |∆ ∩ ∆i | = |∆|.Определение.
Если какое-то свойство верно для всех точек, исключая точки некоторого множества мерынуль по Лебегу, то говорят, что свойство выполняется почти всюду.Теорема 9. Если функция f на [a, b] ограничена и непрерывна почти всюду, то f ∈ R, f ∈ M .Следствие 4. Если f ∈ C[a, b], то f ∈ R[a, b] и f ∈ M[a, b].Следствие 5. Если f монотонна на [a, b], то f ∈ R[a, b] и f ∈ M[a, b].Билет 4.Лемма 10. Пусть f огр. на [a, b], тогда для любого разбиения T = {∆i }ni=1 отрезка [a, b] имеем:Oscξi ∈∆inXf (ξi )|∆i | =i=1nXOsc∆i f |∆i |.i=1Теорема 11. Если f ∈ R[a, b], то f ∈ C[a, b] почти всюду.Следствие 6.
(критерий интегрируемости Лебега) Функция f ∈ R[a, b] тогда и только тогда, когда fограничена и непрерывна почти всюду на [a, b].Следствие 7. Если f ∈ R[a, b], то f ∈ M[a, b].Дополнительные свойства интеграла Римана1◦ Если f, g ∈ R[a, b], то f g ∈ R[a, b].2◦ Если f ∈ R[a, b], а ϕ ∈ C[c, d], [c, d] ⊃ f ([a, b]), то ϕ(f ) ∈ R[a, b].3◦ Если значения интегрируемой по Риману функции изменить в конечном числе точек, что полученнаяRbRbфункция f˜ ∈ R[a, b] и (R) a f dx = (R) a f˜ dx. R b Rb4◦ Если f ∈ R[a, b], то |f | ∈ R[a, b] и a f dx 6 a |f | dx.5◦ Если f (x) > 0 на [a, b], f ∈ R[a, b] и в некоторой точке x0 , в которой f непрерывна на [a, b] f (x0 ) > 0, тоRb(R) a f dx > 0.Билет 5.Теорема 12.
Если f (x) = 0 почти всюду на [a, b], то f ∈ M[a, b] и (M)Rbaf dx = 0.Следствие 8. Если f (x) = g(x) почти всюду на [a, b], то f и g одновременно интегрируемы или неинтегрируемые по M (H ) и, в случае интегрируемости, их интегралы совпадают.R x Определение. Если f интегрируема на [a, b] в каком-либо смысле, то для любого x0 ∈ [a, b] функция F (x) =x0 f dx называется интегралом с переменным верхним пределом.Определение.
Функция F принадлежит классу Липшица на E ⊂ R, если F определена на E и существуетC ∈ R, что ∀x1 , x2 ∈ E | |F (x1 ) − F (x2 )| 6 C|x1 − x2 |.Теорема 13. Если f ограничена на [a, b] и интегрируема на [a, b] в каком-либо смысле, то её неопределённыйинтеграл F (x) принадлежит классу Липшица на [a, b].Следствие 9. неопределённый интеграл R – функция класса Липшица, а значит непрерывна.RxТеорема 14. Пусть f интегрируема на отрезке [a, b] в каком-либо смысле и F (x) = x0 f dx, x0 ∈ [a, b], –неопределённый интеграл f . Если f ∈ C(x ∈ [a, b]), то F ∈ D(x ∈ [a, b]) и F ′ (x) = f (x).Следствие 10.
Если f ∈ R[a, b] и F – неопределённый интеграл f , то F ′ (x) = f (x) почти всюду на [a, b].2Следствие 11. Если f ∈ C[a, b], то её неопределённый интеграл – точная первообразная f на [a, b].Следствие 12. Если f ограничена на [a, b] и непрерывна всюду на [a, b], кроме конечного числа точек, тоеё неопределённый интеграл – обобщенная первообразная f на [a, b].Билет 6.Определение. Пусть f (x) определена на [a, b] почти всюду.
Функция интегрируема по M (H ) на [a, b],если при каком-то доопределении на весь отрезок [a, b] получится интегрируемая по M (H ) функция, при этомвеличина интеграла не зависит от доопределения.Определение. Функция f измерима на [a, b], если f определена на [a, b] почти всюду и ∀ε > 0 ∃g ∈ C[a, b],что µ∗ {x ∈ [a, b] | f (x) 6= g(x)} < ε.Определение. Функция f измерима на [a, b], если f определена на [a, b] почти всюду и ∀ε > 0 ∃E ⊂ [a, b],µ∗ [a, b]\E < ε, что f ∈ C[a, b]\E.Теорема 15.
Определения равносильны.Лемма 16. Любое открытое множество G ⊂ R является объединением не более, чем счетного семействапопарно непересекающихся интервалов.Определение. Если F – замкнутое множество на прямой, то составляющие интервалы R\F называютсмежными.Лемма 17. Если замкнутое множество F 6= 0 и функция f ∈ CF , то доопределив f на конечных смежных интервалах (α, β) как линейную функцию на [α, β], а не бесконечных смежных интервалах постоянной,совпадающей f (c), получим непрерывную функцию на R, причем supR |f | = supF |f |.Теорема 18. Если f – измерима и ограничена на [a, b], то f интегрируема по M на [a, b].Билет 7.Лемма 19 (Слабая Сакса-Хенстока).
Пусть f ∈ M[a, b] (f ∈ H[a, b]) и для ε > 0 найден масштабδ(x)что∀T – отмеченного разбиения M (H ), согласованного с δ(x) выполнено неравенство:P > 0 такой,Rb T f ∆x − a f dx < ε. Тогда для любого отмеченного разбиения T = {(∆i , ξi )}ni=1 M (H ), согласованного сPRδ(x) и для любого J ⊂ {1, . .
. , n} выполнено неравенство: i∈J f (ξi )|∆i | − ∆i f dx) 6 ε.Лемма 20 (Сильная Сакса-Хенстока). Пусть f ∈ M[a, b] (f ∈ H[a, b]) и для ε > 0 найден масштабδ(x)что∀T – отмеченного разбиения M (H ), согласованного с δ(x) выполнено неравенство:P > 0 такой,Rbfdx<ε.Тогда для любого отмеченного разбиения T = {(∆i , ξi )}ni=1 M (H ), согласованного сf∆x− TaRPδ(x) и для любого J ⊂ {1, . . . , n} выполнено неравенство: i∈J f (ξi )|∆i | − ∆i f dx) 6 2ε.Теорема 21.
Если f ∈ H[a, b], то её неопределённый интеграл F ∈ C[a, b].RbRbТеорема 22. Если f ∈ M[a, b], то |f | ∈ M[a, b] и (M) a f dx 6 (M) a |f | dx.Лемма 23. ∀a, b ∈ R верно неравенство: ||a| − |b|| 6 |a − b|.Билет 8.Определение. Множество E ⊂ R покрыто системой отрезков Ω в смысле Витали, если все отрезки системыΩ невырождены и ∀ε > 0 ∀x ∈ E ∃∆ ∈ Ω | x ∈ ∆ и |∆| < ε.Теорема 24 (Витали). Если ограниченное множество E ⊂ R покрыто системой отрезков Ω в смыслеВитали, то найдетсятакаяPконечная или бесконечная последовательность непересекающихся отрезков ∆i ∈SΩ, что: µ∗ (E\ i ∆i ) = 0 и i |∆i | < ∞.Теорема 25 (Витали).
Если ограниченное множество E ⊂ R покрыто системой отрезковв смысле ΩSВитали, то для любого ε > 0 найдется конечная последовательность отрезков ∆i ∈ Ω, что: µ∗ E\ Ii=1 ∆i <ε.Теорема 26. Если f ∈ H[a, b], F (x) – неопределённый интеграл f , то почти всюду на [a, b] F ′ (x) = f (x).Билет 9.Определение. Пусть функции f и g определенына [a,Pb].
Тогда для любого отмеченного разбиения T отрезкаPn[a, b] интегральной суммой f по g называется T f ∆g = i=1 f (ξi )∆i g.3Определение. Интегралы Римана-Стилтьеса, Мак-Шейна-Стилтьеса и Курцвейля-Хенстока-Стилтьеса.(H − S)Zbf dg = limBHaXf ∆g.TСвойства интегралов 1◦ Если f интегрируема по g на [a, b] в смысле R − S или M − S , то f интегрируемапо g на [a, b] в смысле H − S и интегралы совпадают.2◦ Единственность интеграла.3◦ Линейность по f и по g.RbRb4◦ Если f1 (x) 6 f2 (x) на [a, b], g(x) неубывает на [a, b], f1 и f2 интегрируемы по g, то a f1 dg 6 a f2 dg.Критерий Коши существования интегралов СтилтьесаТеорема 27.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
