Т.П. Лукашенко - Математический анализ (формулировки) (1004022), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Если f интегрируема по g на [a, b] в каком-либо смысле, то f интегрируема по g на любомподотрезке в том же смысле.Билет 10.Теорема 28. Если f интегрируема по g на [a, b] и на [b, c] в смысле M − S или H − S , то f интегрируемаRcRbRcпо g на [a, c] в том же смысле и a f dg = a f dg + b f dg.RcRbRcСледствие 13. Если f интегрируема по g на [a, b], [b, c] и [a, c] в смысле R − S , то a f dg = a f dg+ b f dg.PnОпределение. Пусть функция f определена на множестве E ⊂ R.
Тогда VarE f = supi=1 |f (ai ) −a0 <...<anf (ai−1 )|.Определение. Пусть функция f определена на множестве E ⊂ R. Тогда VarE f = sup{∆i }не более, чем счетная система попарно неперекрывающихся отрезков с концами из E.Pi|∆i f |, где {∆i } –Теорема 29. Определения эквивалентны.Определение. Функция f – ограниченной вариации на E ⊂ R, если VarE f < +∞.1◦ Если f определена на E ⊂ R, то для любого α∈R VarE αf = |α| VarE f .2◦ Если f и g определены на E ⊂ R, то VarE (f ± g) 6 VarE f + VarE g.3◦ Если ϕ – V B-функция на [a, b] и на [b, c], то ϕ – V B-функция на [a, с] и Var[a,c] ϕ = Var[a,b] ϕ + Var[b,c] ϕ.4◦ Если ϕ – V B-функция на E, то ϕ ограничена на E.5◦ Если ϕ и ψ – V B-функции на E, то ϕψ – V B-функция на E и VarE (ϕψ) 6 supE |ϕ| VarE ψ +supE |ψ| VarE ϕ.6◦ Если ϕ – V B-функция на E и m = inf E |ϕ| > 0, то ϕ1 – V B-функция на E и VarE ϕ1 6 m12 VarE ϕ.7◦ Если ϕ – V B-функция, а ψ из класса Липшица на ϕ(E), то ψ(ϕ) – V B-функция на E и VarE ψ(ϕ) 6C VarE ϕ.Определение.
Вариация с переменным верхним пределом.Теорема 30. Если ϕ – V B-функция на промежутке I, x0 ∈ I, то Varxx0 ϕ – неубывающая ограниченнаяфункция от x на I, причем если ϕ действительнозначна, то неубывающими ограниченными являются такжефункции Varxx0 ϕ ± ϕ(x).Лемма 31. Если ϕ – монотонная функция на промежутке I, то VarI ϕ = supI ϕ − inf I ϕ = OscI ϕ.Теорема 32. Определенная на промежутке I действительнозначная функция ϕ является V B-функциейна I, тогда и только тогда, когда ϕ является разностью двух ограниченных неубывающих функций на I,причем их можно взять такими, что сумма их вариаций будет равна VarI ϕ.Билет 11.Лемма 33.
Если T = {∆i } – разбиение отрезка ∆ = [a, b], а g – функция на [a, b], то∆g.Pi∆i g = g(b) − g(a) =Теорема 34. ЕслиR f ∈C[a, b], а g ∈ VB[a, b], то f интегрируема по g на [a, b] в смысле R − S и в смысле bM − S , при этом a f dg 6 sup[a,b] |f | Varba g.Лемма 35. Если g имеет разрыв первого рода в точке x0 ∈ [a, b] или устранимый разрыв в точках a илиb по отрезку [a, b], то необходимым условием R − S является непрерывность f в точке x0 .Теорема 36 (об интегрируемости по частям для R − S интеграла). Если f интегрируема по g вRbRbсмысле R − S на [a, b], то и g R − S -интегрируема по f на [a, b] и a f dg = f (b)g(b) − f (a)g(a) − a g df =Rb(f g)|ba − a g df .Следствие 14. Если f ∈ VB[a, b], g ∈ C[a, b], то существует R − S -интеграл от f по g на [a, b].4Билет 12.Теорема 37 (о сведении интеграла R − S к интегралу R ).
Пусть g ∈ R[a, b] и G – её неопределённый интеграл. Если f ограничена на [a, b], f g ∈ R[a, b], то f интегрируема по G на [a, b] в смысле R − S иRbRb(R − S) a f dG = (R) a f g dx.Теорема 38 (формула интегрирования по частям для интеграла R ). Пусть f ∈ R[a, b] и F – еёRbнеопределённый интеграл, g ∈ R[a, b] и G – её неопределённый интеграл. Тогда f G, gF ∈ R[a, b] и a f G dx =RbF G|ba − a gF dx.Теорема 39 (Формула замены переменной для интеграла R ). Пусть f ∈ C[a, b] и F – её неопределённый интеграл, ϕ непрерывно дифференцируема на [α, β], ϕ([α,β]) ⊂ [a, b], ϕ(α) = a, ϕ(β) = b.
ТогдаRβRbf (ϕ(t))ϕ′ (t) ∈ R[a, b] и α f (ϕ)ϕ′ dt = a f dx = F (b) − F (a).Теорема 40 (формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме). Пусть f n + 1 разRx(k)Pn1непрерывно дифференцируема на отрезке с концами x0 и x. Тогда f (x) = k=0 f k!(x0 ) (x − x0 )k + n!x0 (x −n (n+1)t) f(t) dt.Билет 13.Теорема 41 (первая теорема о среднем). Пусть f интегрируема по G на [a, b] (в любом смысле), G –RbRbмонотонна на [a, b], m = inf [a,b] f, M = sup[a,b] f . Тогда существует число µ ∈ [m, M ], что a f dg = µ a dG =µ(G(b) − G(a)).Следствие 15. Пусть f ∈ R[a, b], g ∈ R[a, b] и g(x) > 0 на [a, b], m = inf [a,b] f, M = sup[a,b] f .
ТогдаRbRbсуществует число µ ∈ [m, M ], что (R) a f g dx = µ(R) a g dx.Следствие 16. Пусть f ∈ C[a, b], g ∈ R[a, b] и g(x) > 0 на [a, b]. Тогда существует ξ ∈ [a, b], чтоRbRb(R) a f g dx = f (ξ) a g dx.Теорема 42 (вторая теорема о среднем). Пусть F ∈ C[a, b], g монотонна на [a, b]. Тогда существуетRbξ ∈ [a, b], что a g dF = g(a)(F (ξ) − F (a)) + g(b)(F (b) − F (ξ)); Если g не возрастает и неотрицательна на [a, b],Rbто существует ζ ∈ [a, b], что a g dF = g(a)(f (ζ) − F (a)); Если g не убывает и неотрицательна на [a, b], тоRbсуществует ζ ∈ [a, b], что a g dF = g(b)(f (b) − F (ζ)).RbСледствие 17.
Если f ∈ R[a, b], g – монотонна на [a, b], то существует ξ ∈ [a, b], что a f g dx =RξRbg(a) a f dx + g(b) ξ f dx; Если g не возрастает и неотрицательна на [a, b], то существует ζ ∈ [a, b], чтоRbRζRbf g dx = g(a) a f dx; Если g не убывает и неотрицательна на [a, b], то существует ζ ∈ [a, b], что a f g dx =aRζg(a) a f dx.Билет 14.Определение. Пусть f определена на [a, b) и интегрируема в каком-либо смысле на всех отрезках [a, b̃], a <R b̃b̃ < b. Если существует предел I = limb̃→b−0 a f dx, то говорят, что f интегрируема на [a, b) в несобственномсмысле.Определение. Функция удовлетворяет условию Коши несобственного интегрируемости на [a, b), если fопределена на [a, b) и интегрируема в каком-либо смысле на всех отрезках [a, b̃], a < b̃ < b и ∀ε > 0 ∃Bδ (b) ∀b′ , b′′ ∈R b′′Bδ (b) ∩ [a, b) | | b′ f dx| < ε.Теорема 43 (критерий Коши несобственной интегрируемости).
Функция f интегрируема в несобственном смысле на [a, b) тогда и только тогда, когда f удовлетворяет условию Коши на [a, b).Определение. f абсолютно интегрируема на [a, b), если f определена на [a, b), f, |f | интегрируемы в некоR b′тором смысле на всех отрезках [a, b′ ], a < b′ < b и существует предел I = ′ lim a f dx.b →b−0Теорема 44. Если f абсолютно интегрируема на [a, b) в некотором смысле, то f интегрируема на [a, b) втом же смысле.Признаки сходимости.Признак 1. (сравнения) Пусть f, g определены на [a, b) и интегрируемы на всех отрезках [a, b′ ], a < b′ < b.Пусть 0 6 f (x) 6 g(x) на [a, b).
Еслиg интегрируемана [a, b) в несобственном смысле, то и f интегрируема наRR[a, b) в несобственном смысле и [a,b) f dx 6 [a,b) g dx. Если f не интегрируема, то и g не интегрируема.Признак 2. (сравнения) Пусть неотрицательные f и g определены на [a, b) и интегрируемы на всех отрезках(x)[a, b′ ], a < b′ < b. Пусть 0 < C1 6 fg(x)6 C2 < ∞. Тогда f и g одновременно интегрируемы или неинтегрируемы5в несобственном смысле на [a, b).Признак 3. (Абеля) Если f интегрируема в несобственном смысле по R на [a, b), а ϕ ограниченная монотоннаяфункция на [a, b), то f ϕ интегрируема в несобственном смысле по R на [a, b).R b′Признак 4. (Дирихле) Если f такова, что интегралы ∈ R a f dx, a < b′ < b существуют и ограничены всовокупности, а ϕ монотонная функция на [a, b), стремящаяся к 0, то f ϕ интегрируема в несобственном смыслепо R на [a, b).Билет 15.Определение.
Метрическое пространство.1◦ Любое подмножество метрического пространства – метрическое пространство с той же метрикой.Определение. Нормированное пространство.Определение. Rn .Лемма 45 (неравенство Коши-Буняк.-Шварца). Для любых ak , bk ∈ R, k = 1, . . . , n верно неравенствоvvu nu nnXuX uX2tak tb2k .|ak b k | 6k=1k=1k=1Определение. Открытый и замкнутые шары, ε-окрестность точки.Определение. Внутренняя, внешняя, граничная точки подмножества.Определение. Множество E ⊂ M называется открытым, если все его точки внутренние.Определение.
Замкнутое множество.Лемма 46. Открытый шар – открытое множество, замкнутый – замкнутое.Теорема 47. Любое объединение и конечное пересечение открытых множеств – открытое множество.Теорема 48. Любое пересечение и конечное объединение замкнутых множеств – замкнутое множество.Определение. Предельная, изолированная точки и точка соприкосновения.Лемма 49. Точка x – предельная, если в любой её окрестности бесконечно много точек множества.Теорема 50. Следующие утверждения эквивалентны: E – замкнутое; содержит все свои граничные, илипредельные точки или все свои точки соприкосновения.Билет 16.Определение.
Система множеств покрывает E, если E – подмножество их объединения.Определение. Непустое множество в метрическом пространстве называется ограниченным, если оно лежитв некотором открытом шаре.Лемма 51. Непустое множество E ограничено тогда и только тогда, когда supx,y∈E ρ(x, y) < ∞.Определение. Множество K называется компактным, если из любого его покрытия открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие.Теорема 52. Любой компакт – ограниченное, замкнутое множество.Теорема 53. Любое замкнутое подмножество компакта – компакт.Определение.
Брус в Rn .Лемма 54. Замкнутый брус в Rn – компакт.Теорема 55. Множество в Rn компакт тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто.Теорема 56 (Больцано-Вейерштрасса). Любое бесконечно подмножество компакта имеет предельнуюточку.Следствие 18. Каждое бесконечное ограниченное множество в Rn имеет предельную точку.Билет 17.Определение. Последовательностью точек метрического пространства M называется отображение N в M .Определение.
Предел последовательности.1◦ (о пределе подпоследовательности)2◦ (о единственности предела)3◦ (об ограниченности последовательности, имеющей предел)64◦ (об отделимости)Определение. Бесконечно малая последовательность нормированного пространства.Лемма 57. Если an — последовательность из нормированного пространства N , то limn→∞ an = a тогдаи только тогда, когда an − a = o.
(1).Лемма 58. Сумма и разность двух бесконечно малых – бесконечно малая. Произведение бесконечно малойи числовой – бесконечно малая.Теорема 59. Предел суммы и разности последовательностей есть сумма и разность пределов соответственно.Определение. Последовательность Коши.Теорема 60. Всякая сходящаяся последовательность является последовательностью Коши.Определение. Метрическое пространство называется полным, если любая последовательность Коши сходится к элементу этого пространства.Определение. Нормированное пространство называется банаховым, если это полное относительно стандартной метрики пространство.Теорема 61. Rn – банахово пространство.Теорема 62. Метрическое пространство полно тогда и только тогда, когда в нем любая вложенная последовательность замкнутых шаров с радиусами, стремящимися к нулю имеет общую точку.Лемма 63.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
