Т.П. Лукашенко - Математический анализ (формулировки) (1004022), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Если в невырожденном нормированном пространстве один замкнутый шар вложен в другой,то радиус первого меньше радиуса второго, и центры не дальше разности радиусов друг от друга.Теорема 64. В банаховом пространстве любая последовательность замкнутых вложенных шаров имеетобщую точку.Следствие 19. В Rn любая последовательность вложенных шаров имеет общую точку.Теорема 65. В Rn последовательность ~xk сходится к ~x0 тогда и только тогда, когда она сходится к ~x0покоординатно.Билет 18.Определение. Функция f имеет в точке a ∈ M1 предел по множеству E ⊂ M1 , равный b ∈ M2 , если a –′предельная точка E, f определена на некоторой B∆(a) ∩ E и ... определения по Коши и по Гейне.Теорема 66.
Определения эквивалентны.1◦ (о пределе по подмножеству)2◦ (о единственности)3◦ (об ограниченности последовательности, имеющей предел)4◦ (об отделимости)Определение. Бесконечно малая функция по множеству E в точке a.Теорема 67. limx→a f (x) = b тогда и только тогда, когда f (x) − b = o. (1).Лемма 68. Сумма и разность бесконечно малых – бесконечно малая. Произведение бесконечно малой иограниченной – бесконечно малая (одна – численная, вторая из метрического пространства).Теорема 69. Если f и g – отображения из метрического пространства M в нормированное пространствоN . Тогда предел суммы и разности равен сумме и разности пределов.Определение.
Пусть f отображение из метрического пространства M1 в метрическое пространство M2 .Функция, удовлетворяющая критерию Коши.Теорема 70. Если отображение имеет предел, то оно удовлетворяет условию Коши. Если второе метрическое пространство полно, то отображение Коши имеет предел.Билет 19.Определение. (Коши) Пусть f – отображение из метрического пространства M1 в метрическое пространство M2 . Функция f непрерывна в точке a, если f определена в некоторой окрестности точки a и ∀ε > 0 ∃δ >0 ∀x ∈ Bδ (a) | f (x) ∈ Bε (f (a)).Определение.
(Гейне) Пусть f – отображение из метрического пространств M1 в метрическое пространствоM2 . Функция f непрерывна в точке a, если f определена в некоторой окрестности точки a и ∀xn ∈ M1 , xn →a | f (xn ) −−−−→ f (a).n→∞Теорема 71. Определения эквивалентны.7Теорема 72. f : (M1 , ρ1 ) → (M2 , ρ2 ), а ϕ : (M2 , ρ2 ) → (M3 , ρ3 ). Если f непрерывна в точке a ∈ M1 , а ϕнепрерывна в точке b = f (a) ∈ M2 , то ϕ(а) непрерывна в точке a.Теорема 73. Пусть f, g : (M, ρ) → (N, k · k) Если f и g непрерывны в точке a, то f ± g непрерывна в точкеa. Если α(x) – действительнозначная функция, непрерывная в точке a то α(x)f (x) непрерывна в точке a, а(x)непрерывна в точке a.если α(a) 6= 0, то и fαxОпределение.
Функция f : (M1 , ρ1 ) → (M2 , ρ2 ) непрерывна в точке a ∈ M1 по множеству E, если f непрерывна в точке a как функция из метрического пространства (E ∩ {a}, ρ1 в (M2 , ρ2 ).Определение. Пусть f : (M1 , ρ1 ) → (M2 , ρ2 ). Функция f ∈ CM1 , если f непрерывна в каждой точке M1 .Теорема 74 (критерий непрерывности).
Пусть f : (M1 , ρ1 ) → (M2 , ρ2 ). Функция f непрерывна на M1тогда и только тогда, когда для любого G – открытого подмножества M2 множество f −1 (G) открыто вM1 .Теорема 75. Пусть f : (M1 , ρ1 ) → (M2 , ρ2 ), K – компакт в M1 . Тогда f (K) – компакт в M2 .Следствие 20. Пусть f – отображение компакта K ⊂ M1 в M2 . Тогда f (K) – компакт в M2 .Теорема 76 (Вейерштрасса). Пусть f : (K ⊂ M1 , ρ1 ) → (M2 , ρ2 ) – непрерывное отображение. Тогда f (K)– ограниченное множество в M2 .Теорема 77 (Вейерштрасса). Пусть f – отображение из компакта K в R. Тогда f принимает на Kнаибольшее и наименьшее значение.Определение.
Равномерная непрерывность.Теорема 78 (Кантора). Непрерывное отображение компакта в метрическое пространство является равномерно непрерывной функцией на компакте.Теорема 79 (принцип сжимающих отображений). Пусть f : (M, ρ) → (M, ρ), M – полное метрическоепространство, ∀x, y ∈ M | ρ(f (x), f (y)) 6 qρ(x, y), 0 6 q < 1.
Тогда существует и единственна неподвижнаяточка.Билет 20.Определение. Метрическое пространство называется несвязным, если его можно разбить на два непустыхнепересекающихся открытых (замкнутых) множества, или, эквивалентно, в нём есть нетривиальное подмножество, одновременно открытое и замкнутое.Теорема 80.
Метрическое пространство несвязно тогда и только тогда, когда существует непрерывнаядействительнозначная функция на нем, принимающая ровно два значения.Теорема 81. Множество E в метрическом пространстве M несвязно если, и только если существуюттакие открытые непересекающиеся множества G1 и G2 в M , что G1 ∩ E 6= ∅, g2 ∩ E 6= ∅, G1 ∪ G2 ⊃ E.Теорема 82. Множество в R связно тогда и только тогда, когда это промежуток.Следствие 21. В R одновременно открытым и замкнутыми множествами являются только ∅, R.Теорема 83. Если метрическое пространство M связно, а F непрерывное отображение M в M ∗ , то f (M )связно в M ∗ .Теорема 84 (Больцано-Коши).
Непрерывная действительнозначная функция на связном множестве изметрического пространства принимает все свои промежуточные значения.Определение. Кривой будем называть непрерывное отображение промежутка в метрическое пространство.Образ промежутка будем называть носителем кривой.Теорема 85. Носитель кривой – связное множество.Определение. Множество E в метрическом пространство называется линейно связным, если ∀x, y ∈ Eнайдется кривая, носитель которой содержит точки x и y и лежит в E.Теорема 86. Линейно связное множество связно.Определение. Отрезком в нормированном пространстве N с концами a и b называется множество [a, b] ={t ∈ N | ∃α ∈ [0, 1] : t = αa + (1 − α)b}.Определение. Ломанной с узлами в точках x0 , . .
. , xn называется [x0 , x1 ] ∪ . . . ∪ [xn−1 , xn ].Теорема 87. Открытое множество в нормированном пространстве связно тогда и только тогда, когдалюбые две его точки можно соединить ломанной, принадлежащей этому множеству.Билет 21.8Определение. Кривая – это непрерывное отображение промежутка I ⊂ R в метрическое пространство M .Определение.
Путь, соединяющий точки A и B в метрическом пространстве – это непрерывное отображениеотрезка [a, b] ⊂ R в метрическое пространство, такое, что образ a – A, образ b – B.Определение. Пусть f – непрерывное отображениепромежутка I в метрическое пространство. ДлинойPnкривой f называется VarI f = supa0 <...<an , ai ∈I k=1 ρ(f (ak−1 ), f (ak )).Теорема 88. Пусть f – непрерывное отображение отрезка [a, b] в метрическое пространство M . Тогда∀ε > 0 ∃δP > 0 ∀ak , k = 0, . . . , n, a = a0 < a1 < .
. . < an = b с параметром разбиения max1<i6n (ai − ai−1 ) < δимеем: nk=1 ρ(f (ak−1 ), f (ak )) ∈ Bε (Var[a,b] f ).Определение. Пусть f – отображение из R в нормированное пространство N . Производной f в точке x0(x0 )будем называть limx→x0 f (x)−fи будем обозначать f ′ (x0 ) ∈ N .x−x0Теорема 89. Пусть f непрерывное отображение отрезка [a, b] в нормированное пространство N , котороеимеет производную всюду на [a, b], кроме не более, чем счетного множества точек.
Тогда f имеет конечнуюRbдлину если и только если существует интеграл (H) a kf ′ (x)k dx, при этом в случае существования интеграла,он равен Var[a,b] f .Следствие 22. Если f – действительнозначная функция действительного переменного на [a, b] и конечная производная существует всюду на [a, b], кроме не более, чем счетного множества точек, то Var[a,b] f =Rb(H) a |f ′ (x)| dx.−−→Теорема 90.
Если f (x) – непрерывное отображения [a, b] в Rn , то f имеет ограниченную вариацию тогдаи только тогда, когда fi , i = 1, . . . , n имеют ограниченную вариацию. Функция f~ дифференцируема в точкеx0 тогда и только тогда, когда fi , i = 1, .
. . , n дифференцируемы в точке x0 . При этом, если f~ имеет производную всюду на [a, b], кроме не более, чем счетного множества, то f~ ограниченной вариации на [a, b]тогда иR b pPn′2только тогда, когда существует интеграл (H) ak=1 (fi (x)) dx. При этом в случае ограниченной вариацииVar[a,b] f~ равен этому интегралу.Билет 22.Определение. Пусть l(x) – отображение линейного пространства α1 в линейное пространство α2 .
Функцияl(x) линейна, если из существования l(x) следует, что для любого числа α l(αx) = αl(x), и из существованияl(x) и l(y) следует, что существует l(x + y) = l(x) + l(y).Теорема 91. Если l(x) непрерывна в какой-то точке, то она непрерывна во всех точках.Определение. Пусть f : (N1 , k·k1 ) → (N2 , k·k2 ). Отображение f дифференцируемо в точке x0 , если f определена в некоторой окрестности точки x0 и существует такое непрерывное линейное отображение l(x) : (N1 , k·k1 ) →(N2 , k · k2 ), что f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = l(∆x) + o. (k∆xk).
Линейный оператор l(x) называется полным дифференциалом f в точке x0 . Обозначают l(x) = df (x0 , ∆x).Теорема 92. Пусть f : (N1 , k · k1 ) → (N2 , k · k2 ). Если f дифференцируемо в точке x0 , то f непрерывно вточке x0 .PnЛемма 93. Любое линейное отображение из Rn в R имеет вид l(~x) = k=1 ak xk , где ak ∈ R и являетсянепрерывным на Rn .Определение. Пусть f – отображение из Rn в R. Частной производной функции f в точке ~x0 по k-ойпеременной называют обычную производную f как функции одной k-ой переменной в точке x0k при фиксацииостальных переменных.Теорема 94. Пусть f – отображение из Rn в R. Если f дифференцируемо в точке ~x0 , то f имеет в этойPn−→точке все частные производные и её дифференциал df (~x0 , ∆x) = k=1 ∂x∂ k f (~x0 )∆xk .Определение. Функция f имеет в точке ~x0 непрерывную частную производнуюлена в некоторой окрестности точки ~x0 и непрерывна в точке ~x0 .∂x0 ),∂xk f (~если∂f∂xkопреде-Теорема 95.
Если f имеет в точке ~x0 все непрерывные частные производные, что f дифференцируемо вточке ~x0 .PnnЛеммаpPn 96. Если l(~x) = k=1 αk xk – линейное отображение R в R, то верна оценка: |l(~x)| 6 ck~xk, где2c=k=1 αk .Определение. Поверхность S, являющаяся графиком функцииf , имеет в точке (~x0 , f (~x0 )) ∈ S касаPn000тельную плоскость, задаваемую уравнением xn+1 − xn+1 =x0 ), если уголk=1 αk (xk − xk ), где xn+1 = f (~9между прямой, проходящей через точки (~x0 , x0n+1 ) и (~x, f (~x)) и прямой, проходящей через точки (~x0 , x0n+1 ) иP−→(~x, x0n+1 + nk=1 αk (xk − x0k )) стремится к нулю при ∆x = ~x − ~x0 → 0.Теорема 97. Функция f (~x), ~x ∈ Rn дифференцируема в точке ~x0 тогда и только тогда, когда её графикеимеет в точке (~x0 , f (~x0 )) касательную плоскость.
При этом уравнение касательной плоскости имеет видPn(~x0 )(xk − x0k )..xn+1 − x0n+1 = k=1 ∂f∂xkБилет 23.Определение. Направлением в Rn будем называть любой вектор w~ ∈ Rn , kwk~ = 1.Определение. Если f (~x) – отображение из Rn в R то f (~x) имеет в точке ~x0 производную по направлению0x0 )~(~x0 )w,~ kwk~ = 1, если существует ∂f∂(~= limt→+0 f (~x +tw)−f.w~tТеорема 98. Если f (~x0 ) из Rn в R дифференцируемо в точке ~x0 , то f (~x) имеет в точке ~x0 производнуюPx0 )(~x0 )по любому направлению w,~ равную ∂f∂(~= nk=1 ∂f∂xwk .w~k−−−−−−−−−−−−→(~x)Определение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
