Т.П. Лукашенко - Математический анализ (формулировки) (1004022), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Вектор grad f (~x) = ( ∂f∂x(~x1 ) , . . . , ∂fx.∂xn ) называется градиентом функции f в точке ~Теорема 99. Если f (~x) дифференцируема в точке ~x0 , то grad f (~x0 ) 6= 0 задаёт направление наибольшейпроизводной по направлению, причем такое направление единственное, а − grad f (~x0 ) 6= 0 задаёт направлениес наименьшеё производной, которое тоже единственно.(Правила дифференцирования) Если f (~x) и g(~x) дифференцируемы в точке ~x0 , то:1◦ f (~x) ± g(~x) дифференцируема в точке ~x0 и d(f ± g)(~x0 ) = df (~x0 ) ± dg(~x0 ).2◦ f (~x)g(~x) дифференцируема в точке ~x0 и d(f g)(~x0 ) = g(x0 )df (~x0 ) + f (~x0 )dg(~x0 ).00(~x)(~x0 )dg(~x0 )x0 и d( fg )(~x0 ) = g(~x )df (~xg2)−f.3◦ Если g(~x0 ) 6= 0), то fg(~x) дифференцируема в точке ~(~x0 )◦0mn4 Если f (~x) дифференцируема в точке ~x , xk (~t), k = 1, .
. . , n, ~t ∈ R , ~x ∈ R , дифференцируема в точке ~t0PP∂f (~x0 ) ∂xi (~t0 )и xk (~t0 ) = x0k , то функция f (~x(~t)) дифференцируема в точке ~t0 и df (~x(~t))|~t0 = ni=1 mj=1 ∂xi∂tj ∆tj .−→→Следствие 23. Если f (−x ) из Rn в R дифференцируема в точке ~x0 , а функции xk ( t ) из Rm в R, k = 1, . . . , n→−0−→−→→имеют в точке t 0 частные производные ∂xk∂t( it ) , k = 1, . .
. , n, xk (~t0 ) = x0k , k = 1, . . . , n, то f (−x ( t )), где00P(~x(~t))(~x ) xk (~t )= nk=1 ∂f∂x~x(~t) = (x1 (~t), . . . , xn (~t)), имеет частную производную ∂f ∂t∂ti .ikСледствие 24. (инвариантность первого дифференциала) Если f (~x) дифференцируема в точке ~x0 , и функции xk (~t), k = 1, . . . , n, ~t ∈ Rm , ~x ∈ Rn , дифференцируемы в точке ~t0 , и xk (~t0 ) = x0k , то функция f (~x(~t))дифференцируема в точке ~t0 и прямое вычисление дифференциала и последовательное вычисление дифференциала приводит к одному и тому же результату.∂f (~x)в точке ~x0∂xi имеет∂ f (~x )∂∂=f(~x) 0.∂xj ∂xi∂xj∂xi~xОпределение. Если частная производнаячастной производной второго порядка2частную производную по xj , то её называют0nf (~x)−→Определение.
Если определена частная производная n-ого порядка ∂x∂i ...∂xв точке ~x0 + t−e−in+1 при достаi1nточно малых t, и существует её частная производная по переменной xin+1 , то её называют частной производнойn + 1-го порядка функции f .Теорема 100. Пусть f (x, y) – функция из R2 в R, смешанная производная∂ 2 f (x,y)∂y∂xсуществует в окрестно-(x,y)сти точки (x0 , y0 ) и непрерывна в ней, частная производная ∂f ∂yсуществует в окрестности2∂ 2 f (x0 ,y0 )(x0 ,y0 )и непрерывна в ней по y. Тогда существует частная производная ∂x∂y = ∂ f∂y∂x.Следствие 25. (теорема Шварца) Пусть f (x, y) – функция из R2 в R.
Если производныесуществуют в окрестности точки (x0 , y0 ) и непрерыны в ней, то они равны.точки (x0 , y0 )∂ 2 f (x,y)∂y∂xи∂ 2 f (x,y)∂x∂yОпределение. Функция f из Rn в R m раз дифференцируема в точке ~x0 , если все её частные производныепорядка m-1 дифференцируемы в этой точке. Фунцкия f m раз непрерывно дифференцируема в точке ~x0 , есливсе её частные производные порядка m существуют в некоторой окрестности этой точки и непрерывны в ней.22∂∂Теорема 101 (Юнга). Если f дважды дифференцируема в точке ~x0 , то ∂y∂xf (~x0 ) = ∂x∂yf (~x0 ).−→−→Определение. Если первый дифференциал df (~x, ∆x) при фиксированном ∆x как функция от x дифферен−→цируема в точке ~x0 , то дифференциалом при том же фиксированном ∆x называется вторым дифференциалом−→и обозначается d2 f (~x, ∆x).10−→−→Определение.
Если n-ый дифференциал dn f (~x, ∆x) при фиксированном ∆x как функция от ~x дифферен−→цируем в точке ~x0 , то полученный дифференциал при том же фиксированном ∆x называют m+1-м дифференPPm+1−→nn∂→ =циалом в точке ~x0 . dm+1 f (~x, ∆x)|~x=−im+1 =1 . . .i1 =1 ∂xi...∂xi ∆xi1 . . . ∆xim+1 .∆xm+11Билет 24.Pm 1 k−→−→d f (~x, ∆x) +Определение. Если f m раз дифф-ма в точке ~x0 , то формула f (~x) = f (~x0 + ∆x) = k=0 k!−→rm (~x, ∆x) называется формулой Тейлора порядка m.−→Теорема 102 (Лагранж). Если f m+1 раз дифференцируема на отрезке [~x0 , ~x0 + ∆x], то f (~x) = f (~x0 +Pm 1 k−→−→−→−→1∆x) = k=0 k! d f (~x, ∆x) + (m+1)!dm+1 f (~x0 + θ∆x, ∆x), где 0 < θ < 1.−→Теорема 103 (интегральная).
Если f m+1 раз непрерывно дифференцируема на отрезке [~x0 , ~x0 + ∆x], тоRPm 1 k−→−→−→ −→11f (~x) = f (~x0 + ∆x) = k=0 k!d f (~x, ∆x) + m!(1 − t)m dm+1 f (~x0 + t∆x, ∆x) dt.0Теорема 104 (Пеано). Если f m раз непрерывно дифф-ма в точке ~x0 , тоmX 1−→−→−→f (~x) = f (~x0 + ∆x) =dk f (~x, ∆x) + o. (k∆xkm ).k!k=0Билет 25.Определение. Функция f из Rn в R имеет в точке ~x0 локальный максимум, если f определена в некоторойокрестности точки ~x0 и существует Bδ′ (~x0 ), что ∀~x ∈ Bδ′ (~x0 ) | f (~x) 6 f (~x0 ).Теорема 105.
Если f имеет в точке ~x0 локальный экстремум и существует производнаяравно нулю.∂f (~x0 )∂xi ,то онаТеорема 106. Если f дифф-ма в точке ~x0 и имеет в ней локальный экстремум, то grad f (~x0 ) = ~0 и−→df (~x0 , ∆x) ≡ 0.−→Теорема 107. Если f m раз непрерывно дифференцируема в точке ~x0 , dm f (~x0 , ∆x) – первый отличный от−→−→нуля дифференциал в точке ~x0 и dm f (~x0 , ∆x) строго положителен (∀∆x), то f имеет в точке ~x0 строгий ло−→кальный максимум.
Если f m раз непрерывно дифференцируема в точке ~x0 , dm f (~x0 , ∆x) – первый отличный от−→нуля дифференциал в точке ~x0 и f имеет в точке ~x0 локальный максимум, то dm f (~x0 , ∆x) не положителен.Билет 26.Определение. Если функция y(~x) задается как решение уравнения F (y, ~x) = 0, то говорят, что y(~x) задананеявноТеорема 108 (о неявной функции).
Пусть F (y, ~x) – действительная функция n + 1-го переменного y и~x = (x1 , . . . , xn ). Если F (y 0 , ~x0 ) = 0, F непрерывна в окрестности точки (y 0 , ~x0 ) и имеет в точке (y 0 , ~x0 ) непре∂рывную частную производную ∂yF (y, ~x) 6= 0, ∃ε0 > 0 ∀ε ∈ (0, ε0 ) ∃Bδ (~x0 ) ∀~x ∈ Bδ (~x0 ) ∃!y ∈ Bε (y 0 ) | F (y, ~x) = 0∂F (y, ~x) непре(то есть y задается как функция от ~x). При этом y(x) будет непрерывна в точке ~x0 , а если ∂y00рывна в некоторой окрестности точки (y , ~x ), то y(~x) будет непрерывна в некоторой окрестности точки~x0 . Если F дифференцируема в точке (в окрестности)(y 0 , ~x), то y(~x) будет дифференцируема в точке (в∂PF (y,~x)−→nокрестности) ~x0 и dy(∆x)|~x = − k=1 ∂x∂kF (y,~x) ∆xk , y = y(~x) в точке (в окрестности) ~x0∂yТеорема 109. Пусть Fi (~y , ~x), i = 1, .
. . , m – функции m + n переменных, y ∈ Rm , x ∈ Rn , которые непрерывнов окрестности точки (~y 0 , ~x0 ), Fi (~y 0 , ~x0 ) = 0, i = 1, . . . , m, и определитель Якоби дифференцируемы∂Fi (~y 0 ,~x0 )∂yj6= 0. Тогда ∃ε0j > 0, j = 1, . . . , m, ∀εj ∈ (0, ε0j ), j = 1, . . . , m, ∃Bδ (~x0 ) ∀~x ∈ Bδ (~x) ∃!~y =16i,j6mQm(y1 , . . . , ym ) ∈ j=1 Bεj | Fi (~y, ~x) = 0, i = 1, . . . , m и yj , j = 1, . .
. , m как неявные функции от ~x непрерывно−Px0 )(~y 0 ,~x0 )∂Fi (→y 0 ,~x0 ) ∂yj (~дифференцируемы в некоторой окрестности точки ~x0 . − ∂Fi∂x= mj=1∂yj∂xk , i = 1, . . . , m. Изkэтой системы m линейных уравнений с m неизвестными все производные находятся. Матрица невырожденна,значит решение единственно.detБилет 27.Определение. Функция f имеет в точке ~x0 локальный условный максимум при условиях связи fi (~x) = 0, i =1, .
. . , m, если fi (~x0 ) = 0, i = 1, . . . , m и ∃Bδ (~x0 ) ∀~x ∈ Bδ (~x0 ) ∩ {~t ∈ Rn | fi (t) = 0, i = 1, . . . , m} | f (~x) 6 f (~x0 ).Pn(Метод множителей Лагранжа) F (~λ, ~x) = f (~x) + k=1 λk fk (~x) При некоторых условиях точки условного локального экстремума f будут среди критических точек функции Лагранжа.11Теорема 110.
Пусть функции fi (~x), i = 0, . . . , m непрерывно дифференцируемы в окрестности точки~x0 – точки условного локального экстремума функции f0 при условиях связи fi (~x) = 0, i = 1, . . . , m. Тогдаgrad fi (~x0 ) линейно зависим.Теорема 111. Пусть при условии теоремы 27.2 grad fi (~x0 ),Pi = 1, . . .
, m линейно независим. Тогда сущеmствуют λi , i = 1, . . . , m, не все равные нулю, что grad f0 (~x0 ) + i=1 grad fi (~x0 ) = 0.12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
