Book4 (1000294), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

При расчете частоты свободных колебаний балки принимают следу
ющие допущения:

упругая ось балки совпадает с линией центров масс поперечных сечений;

при колебаниях все точки балки смещаются перпендикулярно пер-
воначальному направлению оси;

все поперечные сечения балки остаются плоскими.

132

Рис. 4.13. Изгибные колебания балки: а — схема нагружения; б — формы колебаний

Предполагается также, что в системе действуют силы упругого со-
противления и инерции. Тогда уравнение движения балки может быть
представлено в виде

(4.14)

где Е — модуль упругого материала балки; J_У— момент инерции сече-
ния относительно оси, перпендикулярной плоскости изгиба; т ₀ — рав-
номерно распределенная погонная масса балки.

Граничные условия, которые используются при решении уравнения,
связывают со способом закрепления балки:

на опертом конце балки прогиб и изгибающий момент равны нулю;

на жестко закрепленном конце прогиб и угол поворота сечения рав-
ны нулю;

на свободном конце балки изгибающий момент и перерезывающая
сила равны нулю.

Решение (4.14) дает следующее соотношение для частоты свобод-
ных колебаний:

^(4Л5)

где λ_i параметр, представляющий собой корень частотного уравнения, характеризующий форму колебаний и способ закрепления балки;
р — плотность материала; F — площадь поперечного сечения балки.
Произведение EJ определяет жесткость балки на изгиб, произведение
р F = т о — равномерно распределенную погонную массу.

133

Для балки с шарнирно закрепленными концами λi=iπ ; для кон-
сольного закрепления λ₁=l,875, λ₂=4,694, λi,≈(2i-1)π/2 (i≥3);в случае жесткого закрепления концов λ₁= 4,73, λ₂= 7,853,
λi,≈(2 i + 1) π/2 (i ≥ 3); i — номер тона колебаний.

Если расчетная модель наряду с распределенной содержит сосре-
доточенную массу, то в формуле (4.15) используется приведенная рас-
пределенная масса

где т _s — сосредоточенная масса; s ₀ — число сосредоточенных масс;
k_s — коэффициент приведения сосредоточенной массы к равномерно

распределенной.

Величина коэффициента k_s зависит от относительной абсциссы со-
средоточенной массы a_s=x_s/l (рис. 4.14). Значения коэффициентов

приведения сосредоточенной массы
к распределенной для рассмотрен-
ных расчетных моделей балки даны
в табл. 4.2. Первая строка коэффи-
циентов соответствует первой фор-
ме колебаний (основной тон), вто-
рая строка — второй форме.

Рис. 4.14. Схема приведения

сосредоточенной массы

к распределенной

Формулы расчета моментов
инерции сечений балки различной
формы приведены в табл. П.1, фи-
зические параметры некоторых материалов в табл. П.2 приложения.

Таблица 4.2

134

Частота свободных колебаний рамы зависит как от параметров мо-
дели, так и от направления внешнего воздействия (рис. 4.15), которое
определяет вид колебаний, протекающих в отдельных элементах рамы.
Если, например, возбуждающая сила направлена вдоль горизонтально-
го звена рамы (рис. 4.15, а), то в вертикальных звеньях возникают из-
гибные колебания, в горизонтальном — продольные. Внешнее воздей-
ствие, приложенное в соответствии с рис. 4.15, в, вызывает изгибные
колебания горизонтального звена рамы, изгибные и крутильные — вер-
тикальных звеньев. В связи с тем что жескости элементов рамы на из-
гиб, растяжение-сжатие и кручение различны, частота свободных коле-
баний рамы будет существенно зависеть от направления внешнего воз-
действия. Силы Р_х, Р_y и Р_z , приложенные к раме, могут рассматриваться как составляющие силы Р.

Рис. 4.15. Схема нагружения рамы:
а — составляющая Р_х ; б — составляющая Р _z ; в — составляющая Р_у

Частота свободных колебаний рамы для основного тона определяет-
ся по формулам:

для рамы рис. 4.15, а

для рамы рис. 4.15, б

для рамы рис. 4.15, в

135

где т — масса рамы; к = h/l (h, l — геометрические размеры звеньев
рамы); G=Е /2 (1 + ε) — модуль упругости второго рода (модуль сдви-
га) материала рамы; ε — коэффициент Пуассона. Расчет частоты сво-
бодных колебаний радиоэлементов проиллюстрируем примером.

Пример 4.1. Определить частоту свободных колебаний резистора
С2-6-1, установленного на печатной плате по варианту ΙΙа. Параметры
конструкции резистора (рис. 4.16, а): D = 6,6 мм, L _к = 17 мм, d = 0,9 мм,

L = 22,5 мм, масса резистора т_p — не более 2,5 г. Выводы резистора
выполнены из холоднотянутой медной проволоки, модуль упругости
Е= 1,23 • 10 ¹¹ Н/м ², плотность ρ= 8,96 г/см ³.

Частоту свободных колебаний резистора найдем для двух расчетных моделей: балки и рамы.

Модель резистора в виде балки представлена на рис. 4.16, б.

Длина балки l= L-L_K = (22,5- 17) • 10^-3 = 5,5- 10^-3 м. Равномерно

распределенная погонная масса балки определяется массой выводов
резистора:

Сосредоточенная масса равна массе корпуса резистора, т.е.

Рис. 4.16. Построение расчетных моделей резистора:

а — вариант установки на печатной плате; б — расчетная модель в виде балки;в — модель в виде рамы

136

Приведенная распределенная погонная масса балки для относительной абсциссы сосредоточенной массы a j = 0,5:

m_l = m₀+(1/l) m_Kk₁=5,69·10^-3 + 2,47·10^-3 ·0,52/5,5·10^-3 = 0,239 кг/м .

Момент инерции сечения балки J=0,05d⁴ = 3,28·10^-14м⁴ .
Частота свободных колебаний балки основного тона

Расчетная модель резистора в виде рамы приведена на рис. 4.16, в.
Длина горизонтального звена рамы l= 5,5 • 10 ^-3 м , высота рамы h =
= (0,5D+1)10^-3 = (0,5·6,6+1)10^-3 = 4,3-10^-3м.

Отношение высоты рамы к длине к = h/l = 4,3·10^-3/5,5·10^-3= 0,78.
Частота свободных колебаний рамы

Полученные значения частоты свободных колебаний резистора для моделей балки и рамы существенно расходятся. Однако можно предположить, что модель рамы точнее воспроизводит и конструкцию резистора и динамические процессы при вибрации. Одновременно расхождение результатов расчета подчеркивает важность и ответственность этапа выбора расчетной модели.

4.3.2. Расчет вибропрочности выводов радиоэлементов

Характерным видом отказов радиоэлементов при вибрационных воз-
действиях является усталостное разрушение выводов.

Усталостные явления в выводах наиболее часто наблюдаются при резонансных колебаниях радиоэлемента или резонансных колебаниях платы, на которой установлен радиоэлемент. Первый случай относится к условиям силового возбуждения механической колебательной системы, второй - к условиям кинематического возбуждения.

137

Количественной оценкой вибропрочности выводов служит время
работы радиоэлемента до разрушения выводов t_p . Для определения t_p ,

как правило, используется расчетная модель в виде рамы, так как по
сравнению с моделью балки она позволяет рассмотреть большее число
опасных сечений выводов радиоэлемента.

В случае вибрации на резонансной частоте на радиоэлемент дейст-
вует инерционная сила Р _и . Если направление инерционной силы не

совпадает с направлением осей координат, то она может быть разложе-
на на составляющие P_X. Р_Y, Р_Z,.

Расчет времени работы выводов радиоэлемента до усталостного
разрушения состоит в определении силы Р _и изгибающих моментов и на-
пряжений в опасных сечениях рамы. Для максимального напряжения
σ _max по кривой усталости материала выводов находят число циклов ко-
лебаний до разрушения N к время работы радиоэлемента до отказа t .

Инерционная сила, действующая на радиоэлемент,
P_H = μmgn_B,

где μ. — коэффициент динамичности ; т — масса радиоэлемента; n _в —
вибрационные перегрузки; g — ускорение силы тяжести.

Коэффициент динамичности на резонансной частоте μ= π/Λ,где
Λ — логарифмический декремент затухания.

Численное значение Λ можно найти через частоту свободных коле-
баний системы f₀₁ или коэффициент затухания δ₀ :

Λ = π/ ; Λ = 2πδ₀.

Для реальных систем δ₀ = 0,02...0,25 [23]. Формулы изгибающих мо-
ментов в характерных точках рам приведены в табл. 4.3.

.

Механические напряжения в характерных сечениях определяют с
помощью соотношения

σ= М_и/W_и,
где М_и — изгибающий момент в сечении; W_и =J_x/y_max — момент со-

противления изгибу; J_x — момент инерции сечения относительно оси,

перпендикулярной плоскости изгиба; у _шах — расстояние от нейтраль-
ной линии сечения до поверхности упругого элемента.

138

Для максимального напряжения по кривой усталости материала вы-
вода находят число циклов нагружения до разрушения выводов N , за-
тем — время работы радиоэлемента до отказа:

t_р=Nр/f01

Рис. 4.17. Изгиб выводов радио-
элемента при резонансных коле-
баниях платы

Случай колебаний элемента на резо-
нансной частоте платы иллюстрируется
рис. 4.17. Плата 2 с длиной стороны а
совершает изгибные колебания. На вы-
воды радиоэлемента 1,установленного
на плате, действует изгибающий мо-
мент, обусловленный поворотом сече-
ния платы на угол θ, и сила, определяе-
мая прогибом платы на величину z(x).
При условии, что радиоэлемент уста-

новлен в центре платы, форму колебаний платы в направлении х мож-
но представить в виде

z(x) = Z ₀ sin (πх/а),

где Z ₀ — прогиб в центре платы.

Угол поворота сечения платы в точке крепления вывода

где х — расстояние от края платы до точки крепления вывода.
Прогиб в центре платы

Z_o=Z_ok₁(ζ_X.ζ_Y)/2δ_o

где Z₀— амплитуда вибраций, возбуждающих плату;k₁(ζ_X.ζ_Y)— ко-
эффициент формы колебаний платы; ζ_X.ζ_Y — относительные коорди-
наты центра платы; 2δ₀=1/ — коэффициент механических потерь на резонансной частоте f₀₁ основного тона колебаний платы.

Коэффициенты формы колебаний для дискретных значений отно-
сительных координат приведены в [24].

Характеристики

Список файлов книги