Ответы на вопросы из коллекции "Теория вероятностей и математическая статистика Синергия Ответы на промежуточные тесты 1-10, итоговый тест, компетентностный"

Случайная величина Х имеет нормальный закон распределения N [-1,2], известно, что X ∊ [-6,1].
Что следует предпринять, чтобы найти вероятность того, что X ∊ [-6,1]?

• Задано нормальное распределение: N (а; σ), параметры нормального распределения: а=М=-1, σ = 2. Вероятность попадания нормально распределенной СВ на заданный промежуток вычислим по формуле: P(α ≤ x ≤ β) = Ф((β–a)/σ) – Ф((α–a)/σ), где Ф x)– функция Лапласа, ее значения берут из таблиц. Если X ∊ [–1;6], то P{-6<x<1} = Ф(1) – Ф(–5,2) = Ф(1) + Ф(5,2)= 0,3413 + 0,4938 = 0,8351.
• Задано нормальное распределение: N (σ, a), параметры нормального распределения: а=М=2, σ =-1. Вероятность попадания нормально распределенной СВ на заданный промежуток вычислим по формуле: P(α ≤ x ≤ β) = Ф((β–a)/σ) – Ф((α–a)/σ), где Ф x)– функция Лапласа, ее значения берут из таблиц. Если X ∊ [–1;6], то P{-6<x<1} = Ф(1) – Ф(–5,2) = Ф(1) + Ф(5,2)= 0,3413 + 0,4938 = 0,8351.
• Задано нормальное распределение: N (σ, a), параметры нормального распределения: а=М=2, σ =-1+2=1. Вероятность попадания нормально распределенной СВ на заданный промежуток вычислим по формуле: P(α ≤ x ≤ β) = Ф((β–a)/σ) – Ф((α–a)/σ), где Ф x)– функция Лапласа, ее значения берут из таблиц. Если X ∊ [-1;6], то P{1<x<-6} = Ф(1) – Ф(–5,2) = Ф(1) + Ф(5,2)= 0,3413 + 0,4938 = 0,8351.

Поезда метро идут строго по расписанию. Интервал движения – шесть минут.
Составьте f(x) и F(x) случайной величины X – времени ожидания очередного поезда Найдите M(X), D(X).

• Случайная величина X – время ожидания очередного поезда – распределена по нормальному закону на отрезке [0;5], поэтому воспользуемся формулами Вычислим математическое ожидание и дисперсию по формулам
• Случайная величина X – время ожидания очередного поезда – распределена равномерно на отрезке [0;6], поэтому воспользуемся формулами Вычислим математическое ожидание и дисперсию по формулам
• Случайная величина X – время ожидания очередного поезда – распределена по нормальному закону на отрезке [0;6], поэтому воспользуемся формулами Вычислим математическое ожидание и дисперсию по формулам

Требуется найти вероятность того, что наугад выбранный человек — дальтоник, если выбор производится из группы, содержащей равное число мужчин и женщин, причем известно, что 5% мужчин и 0.25% женщин — дальтоники. Что следует предпринять, чтобы решить данную задачу?

• Рассмотрим два события М = {выбран мужчина}, W = {выбрана женщина}. Так как в группе одинаковое число мужчин и женщин, то P {M} = P {W} = 1/2. Поэтому события M, W образуют полную группу. Среди мужчин 5% — дальтоники, то есть для события D = {выбранный человек дальтоник}, условная вероятность P {D | M} = 0.05. Аналогично Р {D | W} = 0.0025. Отсюда полная вероятность P {D} = 0.05 · 1 2 + 0.0025 · 1 2 = 0.02625.
• Рассмотрим два события М = {выбран мужчина}, W = {выбрана женщина}. Так как в группе одинаковое число мужчин и женщин, то P {M} =1/3 P {W} = 1/2. Поэтому события M, W образуют полную группу. Среди мужчин 5% — дальтоники, то есть для события D = {выбранный человек дальтоник}, условная вероятность P {D | M} = 0.05. Аналогично Р {D | W} = 0.0025. Отсюда полная вероятность P {D} = 0.05 · 1/3 + 0.0025 · 1/2 = 0.01825.
• Рассмотрим два события М = {выбран мужчина}, W = {выбрана женщина}. Так как в группе одинаковое число мужчин и женщин, то P {M} =1 P {W} = 1. Поэтому события M, W образуют полную группу. Среди мужчин 5% — дальтоники, то есть для события D = {выбранный человек дальтоник}, условная вероятность P {D | M} = 0.05. Аналогично Р {D | W} = 0.0025. Отсюда полная вероятность P {D} = 0.05 · 1 + 0.0025 · 1 = 0.0525.

В урне 5 белых и 8 черных шаров. Из урны наудачу один за другим извлекают два шара, не возвращая их обратно. Как найти вероятность того, что оба шара будут белыми?

• Рассмотрим события: А – первый шар будет белым; В – второй шар будет белым. Найдем вероятность события AВ, состоящего в том, что 1-й шар будет белым и 2-й – белым. По классическому определению вероятности найдем P(А). Найдем Рₐ(В) – вероятность извлечения белого шара во втором испытании, при условии, что до этого был извлечен белый шар. По теореме умножения вероятностей зависимых событий найдем P(AВ) = Р(А) Pₐ(В) – вероятность того, что оба шара будут белыми.
• Рассмотрим события: А – первый шар будет белым; В – второй шар будет белым. Найдем вероятность события AВ, состоящего в том, что 1-й шар будет черным и 2-й – белым. По классическому определению вероятности найдем P(А). Найдем Рₐ(В) – вероятность извлечения белого шара во втором испытании, при условии, что до этого был извлечен белый шар. По теореме умножения вероятностей зависимых событий найдем P(AВ) = Р(А) Pₐ(В) – вероятность того, что оба шара будут белыми.
• Рассмотрим события: А – первый шар будет белым; В – второй шар будет белым. Найдем вероятность события AВ, состоящего в том, что 1-й шар будет белым и 2-й – белым. По классическому определению вероятности найдем P(А). Найдем Рₐ(В) – вероятность извлечения черного шара во втором испытании, при условии, что до этого был извлечен белый шар. По теореме умножения вероятностей зависимых событий найдем P(AВ) = Р(А) Pₐ(В) – вероятность того, что оба шара будут белыми.

Имеются две генеральные совокупности X и Y, для которых известны генеральные средние x₀ и y₀ и дисперсии σₓ² и σᵧ². Требуется по выборочным средним для заданного уровня значимости α проверить гипотезу о равенстве генеральных средних, т.е. что математические ожидания рассматриваемых совокупностей равны между собой.
Что для этого следует предпринять?

• Принимаем за H₀ : x₀ = y₀. При больших объемах выборки учитываем, что: M(x – y) = M(x) – M(y) = x₀ – y₀ = 0, σ²ₓ₋ᵧ = σₓ² + σᵧ². В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимаем следующую величину: Критическая область строится произвольно. Находим tkr и определяем критическую область. Делаем вывод.
• Принимаем за H₀ : x₀ = y₀. При больших объемах выборки учитываем, что: M(x – y) = M(x) – M(y) = x₀ – y₀ = 0, σ²ₓ₋ᵧ = σₓ² + σᵧ². В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимаем следующую величину: Критическая область строится в зависимости от выбора альтернативной гипотезы H₁ : H₁ : x₀ > y₀, или H₁ : x₀ < y₀, или H₁ : x₀ ≠ y₀. Находим tkr и определяем критическую область. Делаем вывод.
• Принимаем за H₁ : x₀ > y₀. При больших объемах выборки учитываем, что: M(x – y) = M(x) – M(y) = x₀ – y₀ = 0, σ²ₓ₋ᵧ = σₓ² + σᵧ². В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимаем следующую величину: Критическая область строится в зависимости от выбора альтернативной гипотезы H₁ : H₁ : x₀ > y₀, или H₁ : x₀ < y₀, или H₁ : x₀ ≠ y₀. Находим tkr и определяем критическую область. Делаем вывод.

В партии 50 деталей, в ней 5 бракованных деталей. Наугад отбирается 5 деталей. Если среди отобранных деталей нет бракованных, то партия принимается. Как найти вероятность того, что партия будет принята, если в ней 5 бракованных деталей?

• Обозначим через А событие – партия деталей будет принята. Общее число исходов n = С⁵₅₀, а число благоприятствующих событию А исходов m = C⁵₄₅. Следовательно, P(A) = m/n ≈ 0,57.
• Обозначим через А событие – партия деталей будет принята. Число благоприятствующих событию А исходов n = С⁵₅₀, а общее число исходов m = C⁵₄₅. Следовательно, P(A) = m/n ≈ 0,57.
• Обозначим через А событие – партия деталей не будет принята. Число благоприятствующих событию А исходов n = С⁵₅₀, а общее число исходов m = C⁵₄₅. Следовательно, P(A) = m/n ≈ 0,57.

Дана выборка (52, 42, 40, 38, 37). Вычислить несмещенные оценки среднего значения µ, дисперсии σ2 и стандартного отклонения σ генеральной совокупности. Запишите формулы их нахождения.

• x = 1/n Σ xi = 43,8, S² = 1/(n–1) Σ(xi – x)² = 31,76, S = √S² = 5,64.
• x = 1/n Σ xi = 33,8, S² = 1/(n–1) Σ(xi – x)² = 31,76, S = √S² = 5,64.
• x = 1/n Σ xi = 43,8, S² = 1/(n–1) Σ(xi – x)² = 21,76, S = √S² = 7,64.

В целях изучения среднего возраста служащих фирмы проведена 46%-ная выборка, в результате которой получено следующее распределение рабочих по возрасту (см. таблицу ниже).
На основе этих данных нужно вычислить средний стаж рабочих завода, средний квадрат отклонений (дисперсию), среднее квадратическое отклонение.
Что следует предпринять, составьте алгоритм действий?

• 1) Для вычисления среднего возраста просуммируем произведения середин интервалов и соответствующих частот, и полученную сумму разделим на сумму частот: x = Σxini / Σni. 2) Вычислим дисперсию по формуле σ² = Σ(xi – x)²ni / Σni. 3) Вычислим среднее квадратическое отклонение по формуле σ = √σ².
• 1) Для вычисления среднего возраста просуммируем произведения середин интервалов и соответствующих частот, и полученную сумму разделим на сумму частот: σ² = Σ(xi – x)²ni / Σni. 2) Вычислим дисперсию по формуле x = Σxini / Σni. 3) Вычислим среднее квадратическое отклонение по формуле σ = √σ².
• 1) Для вычисления среднего возраста просуммируем произведения концов интервалов и соответствующих частот, и полученную сумму разделим на сумму частот: x = Σxini / Σni. 2) Вычислим дисперсию по формуле σ² = Σ(xi – x)²ni / Σni. 3) Вычислим среднее квадратическое отклонение по формуле σ = √σ².
• 1) Для вычисления среднего возраста просуммируем произведения начала интервалов и соответствующих частот, и полученную сумму разделим на сумму частот. 2) Вычислим дисперсию по формуле σ² = Σ(xi – x)²ni / Σni. 3) Вычислим среднее квадратическое отклонение по формуле σ = √σ².

Требуется найти вероятность того, что из 8 случайно выбранных для контроля студентов домашнюю работу сделали 6 человек, при условии, что на занятиях по теории вероятностей из 20 человек только 15 сделали домашнюю работу. Что следует предпринять, чтобы решить данную задачу?

• Вычислить требуемую вероятность по формуле P(A) = (C⁶₁₅·C²₅)/C⁸₂₀.
• Вычислить требуемую вероятность по формуле P(A) = (C²₁₅·C⁶₅)/C⁷₂₀.
• Вычислить требуемую вероятность по формуле P(A) = (C²₁₅·C⁶₅)/C⁴₂₀.

Используя критерий Пирсона, проверяется гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности. Что следует предпринять для вычисления числа степеней свободы?

• Число степеней свободы вычисляется по формуле к=к₁-t-1, где t=3 это число параметров распределения, к₁-число интервалов в выборке.
• Число степеней свободы вычисляется по формуле к=к₁-t-1, где t=1 это число параметров распределения, к₁-число интервалов в выборке.
• Число степеней свободы вычисляется по формуле к=к₁-t-1, где t=0 это число параметров распределения, к₁-число интервалов в выборке.
• Число степеней свободы вычисляется по формуле к=к₁-t-1, где t=2 это число параметров распределения, к₁-число интервалов в выборке.

В 1200 испытаниях Бернулли вероятность успеха в каждом испытании равна 0,8. На основе данных оцените вероятность того, что разница между числом успехов в этих испытаниях и средним числом успехов будет меньше 60. Приведите шаги для вычислений.

• Число успехов распределено по закону Бернулли. Математическое ожидание (среднее число успехов): M(x) = n · p = 1200 · 0.8 = 960. Дисперсия: D(x) = nрq = 1200 · 0.8 · 0.2 = 192. Неравенство Чебышева: P(|m – np| < ε) ≥ 1 – npq/ε². Подставляя числовые значения, получаем: P(|m – 960| < 60) ≥ 1 – 192/60² = 0,9467. Ответ: р ≥ 0,9467
• Число успехов распределено по закону Бернулли. Математическое ожидание (среднее число успехов): M(x) = n · p = 1200 · 0.2 = 240. Дисперсия: D(x) = nрq = 1200 · 0.8 · 0.2 = 192. Неравенство Чебышева: P(|m – np| < ε) ≥ 1 – npq/ε². Подставляя числовые значения, получаем: P(|m – 240| < 60) ≥ 1 – 192/60² = 0,9467. Ответ: р ≥ 0,9467
• Число успехов распределено по закону Бернулли. Математическое ожидание (среднее число успехов): M(x) = n · p = 1200 · 0.2 = 240. Дисперсия: D(x) = nрq = 1200 · 0.8 · 0.2 = 192. Неравенство Чебышева: P(|m – np| < ε) ≥ 1 – npq/ε². Подставляя числовые значения, получаем: P(|m – 240| < 192) ≥ 1 – 192/60² = 0,9467. Ответ: р ≥ 0,9467

Монету подбрасывают 1000 раз. На основе этих данных, оцените снизу вероятность отклонения частоты появления герба от вероятности его появления меньше чем на 0,1. Приведите шаги для вычислений.

• p=q=0,5, ε=0,1, n=1000, P(|m/1000 – 1/2| < 0,1) > 1 – (0.5·0.5)/(1000·0.01) = 39/40. Неравенство |m/1000 – 1/2| < 0,1 равносильно двойному неравенству 400<m<600, поэтому вероятность числа попаданий «герба» в интервал (400;600) больше 39/40.
• p=q=0,5, ε=0,1, n=1000, P(|m/1000 – 1/2| < 0,1) > 1 – (0.5·0.5)/(1000·0.1) = 0.25/100 = 0.01. Неравенство |m/1000 – 1/2| < 0,1 равносильно двойному неравенству 400<m<600, поэтому вероятность числа попаданий «герба» в интервал (400;600) больше 0.01.
• p=q=0,5, ε=0,1, n=1000, P(|m/1000 – 1/2| < 0,1) > 1 – (0.5·0.5)/(100·0.1) = 0.25/10 = 0.025. Неравенство |m/1000 – 1/2| < 0,1 равносильно двойному неравенству 400<m<600, поэтому вероятность числа попаданий «герба» в интервал (400;600) больше 0.025.

Случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами a и σ², известно, что вероятности P(X<1)=0.5 и Р(-2<X<4)=0.9973
Что следует предпринять, чтобы найти параметры a и σ²?

• Используем формулу: 1) Используя формулу P(X<a)=0.5 находим математическое ожидание; 2) Согласно правилу трех сигм P(а-3 σ<X< a+3 σ)=2Ф(3)=0.9973 и P(-2<X<4)=0.9973 находим σ
• Используем формулу: 1) Используя теорему Чебышева P(X<a)=0.5 находим среднее квадратическое отклонение; 2) Согласно правилу трех сигм P(а-3 σ<X< a+3 σ)=2Ф(3)=0.9973 и P(-2<X<4)=0.9973 находим математическое ожидание
• Используем формулу: 1) Используя теорему Чебышева P(X< σ)=0.5 находим среднее квадратическое отклонение; 2) Согласно правилу трех сигм P(σ -3 a<X< σ +3 a)=2Ф(3)=0.9973 и P(-2<X<4)=0.9973 находим математическое ожидание

Производящая … распределения записывается формулой pₖ = P(X = k)

Если в неравенства … P(|X – M(X)| ≤ ε) > 1 – D(X)/ε² сделать подстановку ε=tσ(X) то неравенство примет вид P(|X – M(X)| ≥ tσ(X)) < 1/t²

Формой неравенства … является неравенство: P(|X – M(X)| ≤ ε) > 1 – D(X)/ε².

Случайная величина x распределена по нормальному закону с параметрами m и σ, если ее … распределения имеет вид: f(x) = 1/(σ√2π) e^(–(x–m)²/2σ²)

Требуется найти у кого больше вероятность вытащить счастливый билет: у того, кто подошел первым, или у того, кто подошел вторым. Если среди 25 экзаменационных билетов имеется 5 счастливых и студенты подходят за билетами один за другим по очереди. Что следует предпринять, чтобы решить данную задачу?

• Вероятность события А = (второй студент вытащил счастливый билет} зависит от того, произошло или не произошло событие В = {первый студент вытащил счастливый билет}. Если произошло событие В, то среди 24 билетов осталось только 4 счастливых. Поэтому условная вероятность Р {А | В} = 4/24. Если же событие В не произошло, то осталось 5 счастливых билетов: Р {А | Bc} = 5/24. События В, Вс образуют полную группу событий. Их вероятности Р {В} = 5 /25 = 1/ 5, P {Bc} = 20/ 25 = 4/5. Следовательно, полная вероятность P{A}=4/24·1/5+5/24·4/5=24/120=1/5 т.е. совпадает с вероятностью события В.
• Вероятность события А = (второй студент вытащил счастливый билет} зависит от того, произошло или не произошло событие В = {первый студент вытащил счастливый билет}. Если произошло событие В, то среди 24 билетов осталось только 3 счастливых. Поэтому условная вероятность Р {А | В} = 3/24. Если же событие В не произошло, то осталось 5 счастливых билетов: Р {А | Bc} = 5/24. События В, Вс образуют полную группу событий. Их вероятности Р {В} = 5 /25 = 1/ 5, P {Bc} = 20/ 25 = 4/5. Следовательно, полная вероятность P{A} = 3/24 ·1/5 + 5/24·4/5 = 23/120 т.е. совпадает с вероятностью события A.
• Вероятность события А = (второй студент вытащил счастливый билет} зависит от того, произошло или не произошло событие В = {первый студент вытащил счастливый билет}. Если произошло событие В, то среди 24 билетов осталось только 3 счастливых. Поэтому условная вероятность Р {А | В} = 3/24. Если же событие В не произошло, то осталось 4 счастливых билетов: Р {А | Bc} = 5/24. События В, Вс образуют полную группу событий. Их вероятности Р {В} = 4 /25, P {Bc} = 21/ 25. Следовательно, полная вероятность P{A} = 3/24 ·4/25 + 5/24·21/25 = 0,195 т.е. вероятностью событий A и B одинаковы.

Дискретная случайная величина X задана законом распределения представленном в таблице, неизвестная вероятность равна..........

• 0.29
• 0.2
• 0.27

Статистическую оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру называют …

• смещенной
• эффективной
• состоятельной
• несмещенной

Если H₁, H₂, …, Hₙ – … группа попарно несовместных событий, то для любого события A имеет место формула полной вероятности P(A)=P(H₁)P(A|H₁)+…+P(Hₙ)P(A|Hₙ)

Для того, чтобы вычислить ………. дискретной случайной величины X с помощью формулы D(X) = M (X²) – (М(X))² дополним таблицу распределения строчкой квадратов ее значений.

Функция … F(x) выражается через f(x) как F(x) = ∫f(t)dt

Случайная величина x имеет … распределение, если функция распределения имеет вид: F(x) = 1/(σ√2π) ∫e^(–(x–m)²/2σ²)dx

Выборка называется … , если отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается

Время между двумя последовательными переходами Ai Aj и Aj Ak называется …

• временем не пребывания системы в состоянии Аj
• начальным моментом пребывания системы в состоянии Аj
• временем пребывания системы в состоянии Аj
• центральным моментом пребывания системы в состоянии Аj

Случайная величина x распределена по … закону с параметрами m и σ, если ее плотность распределения имеет вид: f(x) = 1/(σ√2π) e^(–(x–m)²/2σ²)

… попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал вычисляют по формуле: P(a ≤ ξ ≤ b) = Ф((b – m)/σ) – Ф((a – m)/σ).

Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. По условию n=1000, р=0,002, m=
Что следует предпринять, чтобы найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента?

• Поскольку число n велико, а вероятность p мала и элементы работают независимо, воспользуемся формулой Пуассона. Найдем λₙ: λₙ = np = 1000·0,002 = 2. Искомая вероятность приближенно равна: P₁₀₀₀ (3) ≈ 2³e⁻² / 3! = 4/3·0,13534=0,18.
• Поскольку число n мало, а вероятность p велика и элементы работают независимо, воспользуемся формулой Бернулли. Найдем λₙ: λₙ = np = 1000·0,002 = 2. Искомая вероятность приближенно равна: P₁₀₀₀ (3) ≈ 2³e⁻² / 3! = 4/3·0,13534=0,18.
• Поскольку число n велико, а вероятность p мала и элементы работают независимо, воспользуемся формулой Лапласа. Найдем λₙ: λₙ = np = 1000·0,002 = 2. Искомая вероятность приближенно равна: P₁₀₀₀ (3) ≈ 2³e⁻² / 3! = 4/3·0,13534=0,18.
• Поскольку число n велико, а вероятность p мала и элементы работают независимо, воспользуемся формулой Нормального закона распределения. Найдем λₙ: λₙ = np = 1000·0,002 = 2. Искомая вероятность приближенно равна: P₁₀₀₀ (3) ≈ 2³e⁻² / 3! = 4/3·0,13534=0,18.

Если же значения признака x₁, x₂ …, xₖ имеют соответственно частоты N₁ N₂ …, Nₖ причем N₁ + N₂ + … + Nₖ = N, то … средняя вычисляется по формуле х = (x₁N₁ + x₂N₂ + … + xₖNₖ)/N,

Теорема сложения вероятностей гласит, что если событие C равно сумме … событий A и B, то вероятность события C равна сумме вероятностей событий A и B составляет P(A+B)=P(A)+P(B)

Статистический критерий – это …

• гипотеза, которая противоречит нулевой
• выдвигаемая (проверяемая) гипотеза
• правило, по которому гипотеза отвергается или принимается
• правило, по которому гипотеза формулируется

Изменение величины параметра m (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси …

• Oy: вправо, если m возрастает, и влево, если m убывает
• Ox: влево, если m возрастает, и право, если m убывает …
• Ox: вправо, если m возрастает, и влево, если m убывает
• Oн: вправо, если m возрастает и если m убывает

Случайная величина – это …

• постоянная величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, заранее неизвестное
• величина, равная нулю, которая в результате опыта может принять то или иное значение, заранее неизвестное
• переменная величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, заранее известное
• переменная величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, заранее неизвестное

Нормальный закон можно рассматривать как предельный, к которому …

• не приближаются другие законы при часто встречающихся типичных условиях
• приближаются другие законы при редко встречающихся типичных условиях
• не приближаются другие законы ни при каких условиях
• приближаются другие законы при часто встречающихся типичных условиях

Известно, что точность прибора σ₀ = 0,02 и спомощью этого прибора проведено n =25 независимых повторных измерений некоторой физической величины, среднее выборочное равно 2,42.
Найти реализацию доверительного интервала для математического ожидания т; доверительная вероятность 1– α = 0,95. Приведите все необходимые действия.

• Подставляя х = 2,42, σ₀ = 0,02, n = 25 в выражение для реализации доверительного интервала . Получаем (2,412; 2,428)
• По таблице квантилей стандартного нормального распределения находим квантиль порядка и получаем (2,412; 2,428)
• По таблице квантилей стандартного нормального распределения находим квантиль порядка 1-α/2: u (1-α/2)=u (0,975=1.96)
• По таблице квантилей стандартного нормального распределения находим квантиль порядка 1 – α/2: u₁– α/2 = u 0,975=1,96. Подставляя х = 2,42, σ₀ = 0,02, n = 25 в выражение для реализации доверительного интервала . Получаем (2,412; 2,428)

… распределения непрерывной случайной величины ξ в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке x, т. е., если F(x) – функция распределения случайной величины ξ, а f(x) обозначает плотность распределения, то f(x) = F'(x)

Требуется определить, сколькими способами можно выбрать дежурного и старосту из 18 учащихся класса. Что следует предпринять, чтобы решить данную задачу?

• Посчитать число сочетаний.
• Посчитать число размещений.
• Посчитать число перестановок.
• Посчитать дополнения.

Формула … применяется для вычисления условной вероятности P(H₁|A) гипотезы H₁ после испытания, при котором произошло событие A:

Теорема … гласит, если случайные величины X₁, X₂, …, Хₖ, … попарно независимы и D(Хₖ) ≤ C для всех k, то при любом ε > 0 имеет место равенство (8):

Вероятность это …

• случайная оценка
• ситуативная оценка
• качественная оценка
• количественная оценка

Случайная величина X имеет показательное … с параметром λ > 0, если ее плотность равна f(X) = {0, если x < 0; λe^(–λx), если x ≥ 0

Объем генеральной совокупности – это …

• количество элементов генеральной совокупности N
• сумма всех натуральных чисел от 1 до n
• разность всех натуральных чисел от 1 до n
• число от 1 до n

Случайная величина X распределена по … закону с параметрами (n, p), (0 ≤ p ≤ 1, n ≥ 1), если P(k) = {0, если k < 0; Cₙᵏpᵏ(1 – p)ⁿ⁻ᵏ, если k ≤ n; 0, если k > n.

Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе – 0,9, в третье – 0,8. Нужно найти вероятность того, что хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием. Что следует для этого предпринять? Приведите расчеты.

• Найдем вероятность события Y = (хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием). Введем противоположное событие Y = (все отделения получат газеты вовремя). Вычислим вероятность события Y: P(Y) = P(A₁ · A₂ · A₃) = P(A₁) · P(A₂) · P(A₃) = 0,95 · 0,9 · 0,8 = 0,684. Вычислим вероятность события Y: P(Y) = 1 – P(Y) = 1 – 0,95 · 0,9 · 0,8 = 0,316.
• Найдем вероятность события Y = (все отделения получат газеты вовремя). Введем противоположное событие Y = (хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием). Вычислим вероятность события Y: P(Y) = P(A₁ · A₂ · A₃) = P(A₁) · P(A₂) · P(A₃) = 0,95 · 0,9 · 0,8 = 0,684. Вычислим вероятность события Y: P(Y) = 1 – P(Y) = 1 – 0,95 · 0,9 · 0,8 = 0,316.
• Найдем вероятность события Y = (хотя бы одно отделение не получит газеты с опозданием). Введем противоположное событие Y = (все отделения не получат газеты вовремя). Вычислим вероятность события Y: P(Y) = P(A₁ · A₂ · A₃) = P(A₁) · P(A₂) · P(A₃) = 0,95 · 0,9 · 0,8 = 0,684. Вычислим вероятность события Y: P(Y) = 1 – P(Y) = 1 – 0,95 · 0,9 · 0,8 = 0,316.
• Найдем вероятность события Y= (одно отделение получит газеты с опозданием). Введем противоположное событие Y = (все отделения получат газеты вовремя). Вычислим вероятность события Y: P(Y) = P(A₁ · A₂ · A₃) = P(A₁) · P(A₂) · P(A₃) = 0,95 · 0,9 · 0,8 = 0,684. Вычислим вероятность события Y: P(Y) = 1 – P(Y) = 1 – 0,95 · 0,9 · 0,8 = 0,316. Вычислим вероятность события Y: P(Y) = P(A₁ · A₂ · A₃) = P(A₁) · P(A₂) · P(A₃) = 0,95 · 0,9 · 0,8 = 0,684. Вычислим вероятность события Y: P(Y) = 1 – P(Y) = 1 – 0,95 · 0,9 · 0,8 = 0.

Известно, что уровень значимости α составляет 0,05.
Как проверить, используя критерий Пирсона, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X по результатам выборки? Приведите все необходимые действия.

• По выборке x₁,x₂, … , xₙ строят вариационный ряд (он может быть как дискретным, так и интервальным); по данным предыдущих исследований или по предварительным данным делают предположение (принимают гипотезу) о модели закона распределения случайной величины X; анализируют результаты и делают вывод.
• По выборке x₁,x₂, … , xₙ строят вариационный ряд (он может быть как дискретным, так и интервальным); по данным предыдущих исследований или по предварительным данным делают предположение (принимают гипотезу) о модели закона распределения случайной величины X; по выборочным данным проводят оценку параметров выбранной модели закона распределения; анализируют результаты и делают вывод.
• По выборке x₁,x₂, … , xₙ строят вариационный ряд (он может быть как дискретным, так и интервальным); по данным предыдущих исследований или по предварительным данным делают предположение (принимают гипотезу) о модели закона распределения случайной величины X; по выборочным данным проводят оценку параметров выбранной модели закона распределения; задают уровень значимости ; выбирают необходимую тестовую статистику Tₙ; определяют критическую область D₁; по реализации x₁,x₂, … , xₙ вычисляют выборочное значение тестовой статистики t = T(x₁,x₂, … , xₙ); анализируют результаты и делают вывод.

Статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию называют …

• смещенной
• эффективной
• состоятельной
• несмещенной

Критерием согласия называется правило проверки гипотезы о предполагаемом … неизвестного распределения

Если M(θ*) = θ то статистическую оценку θ* называют …

• смещенной
• эффективной
• состоятельной
• несмещенной

Оценка вероятности, по неравенству Чебышева, того, что абсолютная величина разности между числом включенных ламп в осветительной сети из 20 ламп и средним числом отказов за время Т не меньше трех равна … , причем вероятность, что за время Т лампа будет включена равна 0,8

Правило трех сигм позволяет определить вероятность нахождения значений в определенном … , но не дает точных численных значений

Формула Байеса применяется для вычисления … вероятности Р(H₁|А) гипотезы Н₁ после испытания, при котором произошло событие А: Р(Hi|А) = P(Hi)P(A|Hi) / (P(H₁)P(A|H₁)+…+P(Hₙ)P(A|Hₙ))

Нормальное распределение – это распределение, у которого крайние значения признака встречаются достаточно …

• часто, а значения, близкие к средней величине - достаточно редко
• редко, а значения, близкие к средней величине не встречаются
• часто, а значения, близкие к средней величине – не встречаются
• редко, а значения, близкие к средней величине - достаточно часто

Если рассматривать обследуемый признак X генеральной совокупности как случайную величину, то математическое ожидание признака равно … средней этого признака

Дисперсия – это показатель … значений признака относительно своего среднего арифметического значения

Основные теоремы теории вероятностей:… (укажите 2 варианта ответа)

• теорема сложения вероятностей
• теорема умножения вероятностей
• возведение в степень вероятностей
• извлечение квадратного корня из вероятностей
• частного вероятностей

Случайная величина X имеет … распределение с параметром λ > 0, если ее плотность равна f(X) = {0, если x < 0; λe^(–λx), если x ≥ 0

Вероятность того, что случайная величина X, имея дисперсию D(X) = 0,001, отличается от M(X) более чем на 0,1 равна …

• 0,1
• 0.01
• 0,2
• 0,02

Вероятность события А – попадут ровно два стрелка, если вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,6, для третьего – 0,8 (стрелки делают по одному выстрелу), равна…………

• 0
• 0.35
• 0,452
• 0, 558

……..случайной величины x распределенной по нормальному закону f(x) = 1/(3√2π) e^(–(x–6)²/18) равно 6.

Вероятность нужна для оценки возможности наступления определенного …

• закона в не случайной ситуации
• сочетания предметов в случайной ситуации
• события в не случайной ситуации
• события в случайной ситуации

Случайная величина x имеет равномерное распределение на интервале [a, b], если ее … распределения имеет вид: f(x) = {1/(b – a), если x ∈ (a, b]; 0, если x ⋶ (a, b].

Формула Бернулли применяется для анализа ситуаций, когда есть только два возможных исхода: успех или …

Центральная предельная теорема … гласит, если последовательность попарно независимых случайных величин X₁, X₂, …, Хₙ, …, удовлетворяет условию

Числовыми характеристиками нормального закона распределения являются …

• мода и медиана
• математическое ожидание и мода
• математическое ожидание и дисперсия
• дисперсия и мода

Для некоторой местности среднее число дождливых дней в августе равно 15. Нужно найти вероятность того, что первые два дня августа не будут дождливыми. Что следует для этого предпринять? Приведите расчеты.

• Введем обозначения событий: A – первого августа ясный день; B – второго августа ясный день. Вероятность того, что первого августа будет ясный день, равна P(A) = 16/31. Условная вероятность события B, то есть вероятность того, что второго августа будет ясный день, при условии, что первого августа также был ясный день, равна P(A | B) = 15/30 = 1/2. Искомая вероятность того, что первые два дня августа будут ясным, по теореме умножения вероятностей зависимых событий, равна P(A·B) = P(A | B)·P(B) = 16/31 · 1/2 = 8/31.
• Введем обозначения событий: A – первого августа ясный день; B – второго августа ясный день. Вероятность того, что первого августа будет ясный день, равна P(A) = 16/31. Условная вероятность события B, то есть вероятность того, что второго августа будет ясный день, при условии, что первого августа также был ясный день, равна P(A | B) = 15/30 = 1/2.
• Введем обозначения событий: A – второго августа ясный день; B – первого августа ясный день. Вероятность того, что первого августа будет ясный день, равна P(A) = 16/31. Условная вероятность события B, то есть вероятность того, что второго августа будет ясный день, при условии, что первого августа также был ясный день, равна P(A | B) = 15/30 = 1/2. Искомая вероятность того, что первые два дня августа будут ясным, по теореме умножения вероятностей зависимых событий, равна P(A·B) = P(A | B)·P(B) = 16/31 · 1/2 = 8/31.

Случайная величина X имеет показательное распределение с плотностью равной f(X) = {0, если x < 0; 5e⁻⁵ˣ, если x ≥ 0 с ………λ равным пяти.

Неравенство Чебышёва оценивает вероятность того, что отклонение случайной величины X от математического ожидания M(X) превзойдет заданное положительное число ε; оказывается, что эта вероятность, вообще говоря, тем меньше, чем …

• больше дисперсия D(X)
• меньше отклонится M(X)

• меньше дисперсия D(X)

Размещение из n по k – это … набор из k различных элементов, взятых из некоторого множества с мощностью n, где k ≤ n

Сочетания с повторениями – это комбинаторные соединения из n элементов по m, составленные из этих элементов без учета … с возможностью многократного повторения предметов

Теорема … — закон больших чисел гласит, что при неограниченном увеличении числа однородных независимых опытов частота события будет сколь угодно мало отличаться от вероятности события в отдельном опыте

Проведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 8, 9, x3, 12. Несмещенная оценка математического ожидания равна 10. Найдите алгоритм нахождения выборочной дисперсии.

• Запишем формулу для вычисления выборочного среднего, приравняем его к математическому ожиданию, вычислим предварительно значение х3, вычисляем выборочную дисперсию.
• Вычислим предварительно значение х3, вычисляем выборочную дисперсию.
• Запишем формулу для вычисления генерального среднего, приравняем его к дисперсии, вычислим предварительно значение х3, вычисляем выборочную дисперсию.
• Запишем формулу для вычисления дисперсии, приравняем его к математическому ожиданию, вычислим предварительно значение х3, вычисляем выборочную дисперсию.

Рабочий обслуживает 3 станка, вероятности выхода из строя каждого из которых в течение часа соответственно равны 0,2; 0,15; 0,1. Что следует предпринять, чтобы составить закон распределения числа станков, не требующих ремонта в течение часа?

• Найти вероятности выхода из строя соответствующих станков в течение часа; найти вероятности их безотказной работы; используя теоремы сложения вероятностей несовместных событий и умножения независимых событий, составим закон распределения случайной величины X – числа станков, не требующих ремонта в течение часа.
• Найти вероятности выхода из строя соответствующих станков в течение часа; найти вероятности их безотказной работы; используя теоремы сложения вероятностей совместных событий и умножения независимых событий, составим закон распределения случайной величины X – числа станков, не требующих ремонта в течение часа.
• Найти вероятности выхода из строя соответствующих станков в течение часа; используя теоремы сложения вероятностей несовместных событий и умножения независимых событий, составим закон распределения случайной величины X – числа станков, не требующих ремонта в течение часа.

Требуется определить, сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 4, 5, 6, если четверка встречается один раз, пятерка– два раза, шестерка – два раза? Что следует предпринять, чтобы решить данную задачу?

• Посчитать число сочетаний с повторениями.
• Посчитать число размещений с повторениями.
• Посчитать число перестановок с повторениями.
• Посчитать дополнения с повторениями.

… события A до всего пространства элементарных исходов называется такое событие, которое включает все элементарные исходы из Ω, не входящие в A

… Мо(X) случайной величины X называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность p, или плотность вероятности f(x) достигает максимума)

В целях изучения стажа рабочих завода проведена 36-процентная механическая выборка, в результате которой получено следующее распределение рабочих по стажу работы (см. таблицу ниже).
На основе этих данных вычислите: средний стаж рабочих завода; средний квадрат отклонений (дисперсию); среднее квадратическое отклонение. Приведите формулы для вычислений.

• Для вычисления среднего стажа просуммируем произведения середин интервалов и соответствующих частот и полученную сумму разделим на сумму частот: x = Σxini / Σni. Вычислим дисперсию по формуле σ² = Σ(xi – x)²ni / Σni. Вычислим среднее квадратическое отклонение по формуле σ = √σ²
• Для вычисления среднего стажа просуммируем произведения середин интервалов и соответствующих частот, и полученную сумму разделим на сумму частот: σ² = Σ(xi – x)²ni / Σni. Вычислим дисперсию по формуле x = Σxini / Σni. Вычислим среднее квадратическое отклонение по формуле σ = √σ²
• Для вычисления среднего стажа просуммируем произведения концов интервалов и соответствующих частот и полученную сумму разделим на сумму частот: x = Σxini / Σni. Вычислим дисперсию по формуле σ² = Σ(xi – x)²ni / Σni. Вычислим среднее квадратическое отклонение по формуле σ = √σ²
• Для вычисления среднего стажа просуммируем произведения начальных значений интервалов и соответствующих частот и полученную сумму разделим на сумму частот. Вычислим дисперсию по формуле σ² = Σ(xi – x)²ni / Σni. Вычислим среднее квадратическое отклонение по формуле σ = √σ²

Ряд называется … рядом, если он является статистической совокупностью, у которой все данные располагаются в порядке возрастания или убывания значений случайной величины

Генеральная средняя — это среднее … значений генеральной совокупности

Практически достоверным называется событие, вероятность которого весьма близка к единице, но не равна …

Рабочий обслуживает 3 станка, вероятности выхода из строя каждого из которых в течение часа соответственно равны 0,2; 0,15; 0,1. Что следует предпринять, чтобы составить закон распределения числа станков, не требующих ремонта в течение часа?

• Найти вероятности выхода из строя соответствующих станков в течение часа; найти вероятности их безотказной работы; используя теоремы сложения вероятностей несовместных событий и умножения независимых событий, составим закон распределения случайной величины X – числа станков, не требующих ремонта в течение часа.
• Найти вероятности выхода из строя соответствующих станков в течение часа; найти вероятности их безотказной работы; используя теоремы сложения вероятностей совместных событий и умножения независимых событий, составим закон распределения случайной величины X – числа станков, не требующих ремонта в течение часа.
• Найти вероятности выхода из строя соответствующих станков в течение часа; используя теоремы сложения вероятностей несовместных событий и умножения независимых событий, составим закон распределения случайной величины X – числа станков, не требующих ремонта в течение часа.

Критерий … χ² (или критерий Пирсона) – это метод позволяет оценить статистическую значимость различий двух или нескольких относительных показателей (частот, долей)

Случайная величина X с дисперсией D(X) = 0,001 имеет вероятность того, что X отличается от M(X) более чем на 0,1 по неравенству Чебышёва равной …

Теорема … вероятностей гласит, что если событие С равно сумме трех не совместных событий A, D и В, то вероятность события С равна: Р(С) = P(A) + P(B) + P(C)

Неравенство Чебышёва заключается в том, что вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее …

• дисперсии по абсолютной величине больше положительного числа ε либо равно ε, меньше, чем D(X)/ε2
• моды по абсолютной величине больше положительного числа ε либо равно ε, меньше, чем D(X)/ε2
• математического ожидания по абсолютной величине больше положительного числа ε либо равно ε, меньше, чем D(X)/ε²
• математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа ε либо равно ε, меньше, чем D(X)/ε2

Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение если она принимает значения … с вероятностями P(X = k) = qᵏ⁻¹p, где 0 < p < 1, q = 1 – p.

• k = 1, 2, 3, … (счетное множество значений)
• k = 0,1, 2, 3, … (счетное множество значений)
• k = 1,2, 3, … (не счетное множество значений)
• k = 2, 3, … (не счетное множество значений)

Случайная величина x имеет … распределение на интервале [a, b], если ее плотность распределения имеет вид: f(x) = {1/(b – a), если x ∈ (a, b]; 0, если x ⋶ (a, b].

По результатам исследования цены некоторого товара в различных торговых точках города получены следующие данные (в денежных единицах): 17.5; 7.7; 8.7; 16.1; 10.6; 19.8; 17; 16; 18; 16; 18.2; 18.5; 17.4; 17.1; 19.5; 16.8; 19.6; 16.3; 16.3; 18.5; 15.8; 7.5; 9.2; 7.2; 7; 8; 7.5; 7.5; 8; 6.5. Приведите алгоритм действий, требующихся для того чтобы составить вариационный ряд.

• 1. Решаем, какой ряд составлять – дискретный или интервальный (в вопросе ничего не сказано о характере ряда). Так как цены дискретны, разброс цен довольно велик, то здесь целесообразно построить дискретный вариационный ряд. 2. Находим самое маленькое число в выборке (минимальное значение) и самое большое число в выборке (максимальное значение). 3. Считаем число интервалов в выборке по формуле Стерджеса. 4. К самой малой варианте начинаем прибавлять h, получая тем самым частичные интервалы. 5. Получили интервальный вариационный ряд
• 1. Решаем, какой ряд составлять – дискретный или интервальный (в вопросе ничего не сказано о характере ряда). Так как цены дискретны, разброс цен довольно велик, то здесь целесообразно построить интервальный вариационный ряд. 2. Находим самое маленькое число в выборке (минимальное значение) и самое большое число в выборке (максимальное значение). 3. Вычислим размах вариации – длину общего интервала, в пределах которого варьируется цена. 4. Считаем число интервалов в выборке по формуле Стерджеса. 5. Считаем длины частичных интервалов. 6. К самой малой варианте начинаем прибавлять h, получая тем самым частичные интервалы. 7. Подсчитываем частоты по каждому интервалу. Суммируем полученные частоты и получаем объем выборки n. 8. Получили интервальный вариационный ряд.
• 1. Решаем, какой ряд составлять – дискретный или интервальный (в вопросе ничего не сказано о характере ряда). Так как цены дискретны, разброс цен довольно велик, то здесь целесообразно построить интервальный вариационный ряд. 2. Вычислим размах вариации – длину общего интервала, в пределах которого варьируется цена. 3. Считаем число интервалов в выборке по формуле Стерджеса. 4. Считаем длины частичных интервалов. 5. К самой малой варианте начинаем прибавлять h, получая тем самым частичные интервалы. 6. Получили интервальный вариационный ряд

Интервальная оценка решает задачу в каком интервале будет находится с заданной … генеральная характеристика случайной величины

Расположите в порядке возрастания вероятности P(A₁), P(А₂), P(А₃), P(A₄), если на складе появились новые товары, которые были поставлены с трех разных заводов, и известно, каким заводом поставлено какое число товаров в процентном отношении от общего их количества на складе (см. таблицу ниже):

1. Р(А2)
2. Р(А4)
3. Р(А1)
4. Р(А3)

Согласно правилу суммы, если объект A можно выбрать n способами, а объект B можно выбрать m способами, то объект «A или B» можно выбрать … способами

• nm + 1
• (n – m) +1
• n + m
• n +2m

Выборка называется …, если случайная выборка такова, что по ее распределению по некоторому признаку можно судить о распределении по этому же признаку неизвестной генеральной совокупности

Статистическую оценку θ*, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру θ при любом объеме выборки, т.е. M(θ*) = θ называют …

• смещенной
• эффективной
• состоятельной
• несмещенной

Пространством … исходов (событий) - некоторого испытания (опыта) называется множество всех возможных результатов проведения этого испытания

Упорядочите вероятности безотказной работы соответствующих элементов q₁, q₂, q₃, q₄ в порядке возрастания, если известно, что электроприбор содержит два независимо работающих блока A и B, каждый из которых состоит из нескольких элементов (см. рисунок ниже) и известны вероятности отказа каждого из элементов: p₁ = 0,3, p₂ = 0,2, p₃ = 0,1, p₄ = 0,4, p₅ = 0,23, p₆ = 0,25, p₇ = 0,35:

1. q₄
2. q₁
3. q₂
4. q₃

Достоверное событие (для данного опыта) – это …

• группа событий, которая обязательно не произойдет
• событие, которое обязательно не произойдет
• событие, которое обязательно произойдет

Согласно правилу произведения, если объект A можно выбрать n способами и после каждого такого выбора объект B можно выбрать m способами, то для пары «A и B» есть … вариантов выбора

• 2nm
• 2n / m
• n · m
• n · 2m

В группе 9 человек. Известно, что что в подгруппу входит не более 2 человек.
Сколько можно образовать разных подгрупп при данном условии? Что для этого следует предпринять?

• Посчитать число сочетаний из 9 по 2 чел., из 9 по 3 чел. Применить правило умножения и получить 46 способов.
• Посчитать число размещений из 9 по 2 чел., из 9 по 3 чел., из 9 по 4 чел., из 9 по 5 чел., из 9 по 6 чел., из 9 по 7 чел. Применить правило сложения и получить 246 способов.
• Посчитать число размещений с повторениями из 9 по 2 чел., из 9 по 3 чел., из 9 по 4 чел., из 9 по 5 чел. Применить правило сложения и получить 246 способов.
• Посчитать число сочетаний из 9 по 2 чел., из 9 по 1 чел. Применить правило сложения и получить 45 способов.

Теоремы, носящие название закона больших чисел – это …

• условия, при выполнении которых совокупное действие многих случайных величин приводит к результату, зависящему от случайных причин
• совокупность сочетаний предметов, взаимосвязь которых изучается по интересующему нас признаку
• совокупность размещений предметов, взаимосвязь которых изучается по интересующему нас признаку

• условия, при выполнении которых совокупное действие многих случайных величин приводит к результату, почти не зависящему от случайных причин

Оценка называется … , если она решает задачу в каком интервале этой величины будет находится с заданной надежностью генеральная характеристика