Некоторые наиболее важные законы распределения случайных величин
4. Некоторые наиболее важные законы распределения случайных величин
4.1 Равномерное распределение вероятностей
Для него вероятность того, что с.в. Х попадет в интервал a<Х<b:
Prob(a<Х<b)=(b-a)/(b-a).
Функция распределения 
, a<x<b.
Функция плотности распределения (вероятности): 
М.о. и дисперсия: 
.
4.2 Нормальное распределение
Плотность распределения: 
(45.4).
Рекомендуемые материалы
Точки перегиба кривой плотности распределения: 
и 
.
Функция распределения:
(46.4),
где 
- м.о., s(х) – стандарт.
Чем больше s(х), тем ниже и шире кривая плотности распределения.
Плотность n-мерного нормального распределения: 
, где D - определитель корреляционной матрицы 
, а Ajl – алгебраическое дополнение элемента kjl-того определителя.
Р(х) можно выразить через интеграл вероятности Гаусса
, (47.4)
(48.4).
Функция (47) – нечетная (Ф(-z) = - Ф(z)), имеются таблицы ее значений.
Вероятность попадания с.в. Х в интервал (a,b) –
(49.4).
Если b-a =6 s(X), то вероятность того, что с.в. Х окажется в интервале 
равна 0.9973. Линейные функции с.в., подчиняющиеся нормальным законам распределения, имеют также нормальный закон распределения.
Как показал Ляпунов в случае, если число n безгранично увеличивается, кривая плотностей вероятностей суммы не зависит от кривых плотностей вероятностей, слагаемых при некоторых предположениях, и представляет собой нормальную кривую (45.4).
Условия: слагаемые величины х=х1+х2+...+хn (xi, i=1, 2...n) в среднем одного порядка и одного порядка некоторые характеристики слагаемых - вторые и третьи моменты. Т.о. если с.в. образуется из суммы большого числа независимых, неограниченных случайных переменных факторов, то ее закон - близок к нормальному, т.е. в действительности многие переменные представляют собой результат простого суммирования многих независимых факторов.
Закон больших чисел:
.
4.3 Усеченный нормальный закон
Если известны границы возможных значений с.в. (a,b), то
(50.4).
Закон используется для описания реальных величин, распределенных нормально (например, не могущих принимать отрицательные значения).
4.4 Логарифмически нормальное распределение
Если некоторая с.в. Х распределена по нормальному закону (45.4), то ее экспоненциальная функция
Y=exp(X) (51.4)
(X=ln(Y)) распределится по закону (используем (40.3)):
(52.4).
М. о. и дисперсия:
, 
(53.4).
Коэффициент вариации: 
. Изменению Х по нормальному закону (45.4) в пределах (-¥,¥) соответствует изменение Y по закону (52) в пределах (0,+¥).
4.5 Распределение Вейбулла
В теории хрупкого разрушения и других отраслях техники нашло применение распределение Вейбулла. Интегральная кривая распределения:
(54.4).
Плотность распределения:
(55.4).
В выражения для числовых характеристик распределения Вейбулла входит гамма-функция
(56.4),
которая табулирована в математических справочниках.
4.6 Распределение Гумбеля (двойное экспоненциальное распределение)
Используется при статистическом анализе снеговых и ветровых нагрузок на сооружения. Функция распределения (интегральная):
(57.4)
Значению x=a соответствует вероятность непревышения a, равная
P(a)=exp(-exp0))=exp(-1)=1/e=0.36788.
Значению x=0 соответствует вероятность непревышения 0, равная P(0)=exp[-exp(a/b)].
Плотность распределения:
(58.4).
В (58) ‑¥<x<¥, ‑¥<a<¥, b>0.
Если возвести в n-ную степень (57), то интегральная кривая не изменит своего вида, а только сместится вдоль оси на величину b×ln(n):
(59.4).
Параметры a и b связаны с м.о. 
и дисперсией D(x):
(60.4).
4.7 Распределение максимумов случайных величин
Рассматривается n статически независимых с.в. Xi (i = 1, 2, …, n) и имеется вероятность того, что ни одна из них не превысит х. Вероятность непревышения значения х величиной Xi®Prob(Xi<x)=Pi(x),
где Pi(x) – интегральный закон распределения Xi.
Вероятность непревышения х ни одной из величин Xi:
(61.4),
где Pn(x) – интегральный закон распределения максимумов совокупности n с.в. Xi.
Тогда плотность распределения вероятностей:
(62.4).
Для 3-х с.в.
Если закон распределения всех с.в. Xi одинаков, то
(63.4),
где Pn(x) и pn(x) – интегральная функция распределения и плотность распределения максимумов, получаемых при n реализациях одной и той же с.в. Xi.
М.о. и дисперсия максимума в n опытах:
(64.4),
(65.4).
4.7 Распределение Пуассона
Рекомендуем посмотреть лекцию "9 Сущность поведенческого подхода".
Это дискретное распределение описывает число событий, происходящих в одинаковых промежутках времени при условии, что события происходят независимо одно от другого с постоянной интенсивностью. Вероятность того, что с.в. Х примет значение, равное m (m – целое число):
(65.4)
Распределение зависит от одного параметра l, называемого пуассоновским потоком.
Существуют некоторые недостатки при описании реальных с.в.: так в некоторых законах с.в. может принимать отрицательные значения (нормальный закон), хотя этими законами описываются изначально только положительные величины (предел текучести стали и т.д.). Кроме того, теоретические распределения допускают, хотя и с малой вероятностью, возможность сколь угодно больших отклонений с.в. от среднего значения.
Все теоретические закономерности и законы теории вероятностей относятся к идеальным схемам. Применяемые обычно теоретические законы распределения относятся к ситуациям с неограниченным нарастанием числа случайных факторов или с неограниченным повторением некоторого явления и имеют характер предельных закономерностей, к которым приближаются реальные распределения.
Кроме перечисленныхиспользуются и другие распределения – Пирсона 3-го рода, Рэлея, Максвелла, Пирсона 2-го рода, c2 (хи-квадрат), Стьюдента, Фишера и т.д.
