Системы массового обслуживания

8. Лекция.  Системы массового обслуживания.

8.I. Формулировка задачи и характеристики СМО

      Часто приходится сталкиваться с такими ситуациями: очередь покупателей в кассах магазинов; колонна автомобилей, движение которых остановлено светофором; ряд станков, вышедших из строя и ожидающих ремонта, и т.д. Все эти ситуации объединяет  то, что системам необходимо пребывать в состоянии ожидания. Ожидание является следствием вероятностного характера возникновения потребностей в обслуживании и разброса показателей обслуживающих систем, которые называют системами массового обслуживания (СМО).

            Цель изучения СМО состоит в том, чтобы взять под контроль некоторые характеристики системы, установить зависимость между числом обслуживаемых единиц и качеством обслуживания. Качество обслуживания тем выше, чем больше число обслуживаемых единиц. Но экономически невыгодно иметь лишние обслуживающие единицы.

            В промышленности СМО применяются при поступлении сырья, материалов, комплектующих изделий на склад и выдаче их со склада; обработке широкой номенклатуры деталей на одном и том же оборудовании; организации наладки и ремонта оборудования; определении оптимальной численности обслуживающих отделов и служб предприятий и т.д.

Основными элементами СМО являются источники заявок; их входящий поток; каналы обслуживания и выходящий поток. Это изображено на рис.

  Входящий                                          каналы                            выходящий

     поток                очередь              обслуживания                       поток

Рекомендуемые материалы

                                       • • • •                •                        

                                                                       •                   •      

                                                                                    •

В зависимости от характера формирования очереди СМО различают:

1)системы с отказами, в которых при занятости всех каналов обслуживания заявка не встает в очередь и покидает систему необслуженной;

2)системы с неограниченными ожиданиями, в которых заявка встает в очередь, если в момент ее поступления все каналы были заняты.

3)системы смешанного типа с ожиданием и ограниченной длиной очереди: заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все места в очереди заняты. Заявка, попавшая в очередь, обслуживается обязательно.

По числу каналов обслуживания СМО делятся на одноканальные и многоканальные.

В зависимости от расположения источника требований, системы могут быть разомкнутыми (источник заявок находится вне системы) и замкнутыми (источник находится в самой системе).

Рассмотрим в отдельности элементы СМО.

       Входящий поток: на практике наиболее распространенным является простейший поток заявок, обладающий свойствами стационарности ординарности и отсутствия последействия.

Стационарность характеризуется тем, что вероятность поступления определенного количества требований (заявок) в течение некоторого промежутка времени зависит только от длины этого промежутка.

Ординарность потока определяется невозможностью одновременного появления двух или более заявок.

Отсутствие последействия характеризуется тем, что поступление заявки не зависит от того, когда и сколько заявок поступило до этого момента. В этом случае вероятность того, что число заявок, поступивших на обслуживание за промежуток времени t, равно k, определяется по закону Пуассона.

P_k(t)=( (λt)^k / k! ) е^-λt

где λ – интенсивность потока заявок, т.е. среднее число заявок в единицу

                              _                                                                 _

времени:    λ=1/τ (чел/мин, р/ч, автом/дн, кВт/ч), где τ – среднее значение интервала времени между двумя соседними заявками;

k – число заявок, поступивших на обслуживание за промежуток времени t.

  Для такого потока время между двумя соседними заявками распределено экспоненциально с плотностью вероятности: f(t)= λ е^-λt

      Случайное время ожидания в очереди начала обслуживания считают распределенным экспоненциально:  f(t)=υе^-υt

где υ – интенсивность движения очереди, т.е. среднее число заявок

приходящихся на обслуживание в единицу времени: υ=1/t_оч,

где t_оч – среднее значение времени ожидания в очереди.

Выходящий поток заявок связан с потоками обслуживания в канале, где

                                                     _

длительность обслуживания t_обс является случайной величиной и часто подчиняется показательному закону распределения с плотностью

f(t_обс)= μe^-μt

где μ – интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в ед. времени: μ=1/ t_обс(чел/мин, р/дн, кг/ч, докум/дн)

где t – среднее время обслуживания.

      Важной характеристикой СМО, объединяющей λ и μ, является интенсивность нагрузки ρ=λ/ μ

Рассмотрим n-канальные разомкнутые СМО.

8.2 СМО с отказами.

8.2.1 Основные понятия

          Заявка, поступившая в систему с отказами и нашедшая все каналы занятыми, получает отказ и покидает систему необслуженной. Показателем качества обслуживания выступает вероятность получения отказа. Предполагается, что все каналы доступны в равной степени всем заявкам, входящий поток является простейшим, длительность (время) обслуживания одной заявки  (t_обс) распределена по показательному закону.

8.2.2 Формулы для расчета установившегося режима

1. Вероятность простая каналов обслуживания, когда нет заявок (k=0):

                                                                      n

                                                         P₀=1/(Σ ρ^k / k!)

                                                                   ^k=0

2. Вероятность отказа в обслуживании, когда поступившая на обслуживание заявка найдет все каналы занятыми (k=n):

P_отк= P_n =P₀ρⁿ / n

3. Вероятность обслуживания:  Р_обс= 1- P_отк                                                         _

4. Среднее число занятых обслуживанием каналов:       _              n₃=ρ Р_обс

5. Доля каналов, занятых обслуживанием:                k₃= n₃/n

6. Абсолютная пропускная способность СМО:   A=λ Р_обс

8.3 СМО с неограниченным ожиданием

8.3.1 Основные понятия

        Заявка, поступившая в систему с неограниченным ожиданием и нашедшая все каналы занятыми, становится в очередь, ожидая освобождения одного из каналов.

        Основной характеристикой качества обслуживания является время ожидания (время пребывания заявки в очереди).

         Для таких систем характерно отсутствие отказа в обслуживании, т.е.

  P_отк=0 и Р_обс=1.

         Для систем с ожиданием существует дисциплина очереди:

1)обслуживание в порядке очереди по принципу «первым пришел – первым обслужен»;

2)случайное неорганизованное обслуживание по принципу «последний пришел - первым обслужен»;

3)обслуживание с приоритетами по принципу  «генералы и полковники вне очереди».

8.3.2 Формулы для расчета установившегося режима

1. Вероятность простоя каналов, когда нет заявок (k=0):

          _n

P₀=1/Σ(ρ^к/к!)+ρⁿ⁺¹/n!(n-ρ)

        ^k=0

Предполагается, что ρ/n<1, т.е. интенсивность нагрузки меньше числа каналов.

2. Вероятность занятости обслуживанием k заявок: P_k= ρ^к P₀/k!, 1≤ k≤ n

3. Вероятность занятости обслуживанием всех каналов: P_n =P₀ρⁿ / n!

4. Вероятность того, что заявка ожидается в очереди: Р_оч= ρⁿ⁺¹/n!(n-ρ)* P₀

5. Среднее число заявок в очереди:   _

                                                               L_оч= ρⁿ⁺¹/(n+λ)!(n-ρ)²* P₀

6. Среднее время ожидания заявки в очереди: _      _

                                                                               t_оч= L_оч/λ 

7. Среднее время ожидания заявки в СМО: _        _

                                                                           t_смо= t_оч+ t_обс

8. Среднее число занятых обслуживанием каналов:  _

                                                                                         n₃=ρ

9. Среднее число свободных каналов:   _         _

                                                                   n_св= n- n₃       _

10. Коэффициент занятости каналов обслуживания: k₃= n₃/ n

11. Среднее число заявок в СМО:  _   _      _

                                                           z= L_оч+ n₃                                                       

8.4 СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди

8.4.1 Основные понятия

Заявка, поступившая в систему с ожиданием с ограниченной длиной очереди и нашедшая все каналы и ограниченную очередь занятыми, покидает систему необслуженной.

Основной характеристикой качества системы является отказ заявке в обслуживании.

Ограничения на длину очереди могут быть  из-за:

1)ограничения сверх времени пребывания заявки в очереди;

2)ограничения сверх длины очереди;

3)ограничения общего времени пребывания заявки в системе.

8.4.2Формулы для установившегося режима

1. Вероятность простоя каналов, когда нет заявок (k=0):

P₀=1 : {Σ ρ^к/к!+ρⁿ⁺¹/n!(n-ρ)[1-(ρ/n)^m]}

n – число каналов;

m – длина накопителя;

ρ – интенсивность нагрузки;

К – число заявок, поступивших на обслуживание за промежуток времени t.

2. Вероятность отказа в обслуживании: P_отк= ρ^n+m/n!n ^m*P₀

3. Вероятность обслуживания: Р_обс= 1- P_отк                                                        

4. Абсолютная пропускная способность: A=λ Р_обс

5. Среднее число занятых каналов:  _

                                                             n₃=A/μ= λ Р_обс/μ=ρ Р_обс, где ρ=λ/ μ

6. Среднее число заявок в очереди:

    _                                                         

    L_оч= ρⁿ⁺¹/n*n! * 1-(ρ/n)^m(m+1-mρ/n) / (1-ρ/n)² * P₀

7. Среднее время ожидания обслуживания:  _      _

                                                                            t_оч= L_оч/λ 

                                                             _   _      _

8. Среднее число заявок в системе: z= L_оч+ n₃                                                      

                                                                       _

1. Среднее время пребывания в системе:  t_смо= z/λ

8.5 Примеры решения задач.

Пример № 1.

Дежурный администратор города имеет 5 телефонов. Звонки поступают с интенсивностью 90 звонков/час. Средняя продолжительность разговора составляет 2 мин.

Определить характеристики дежурного администратора и сделать анализ СМО.

Решение:

1. Классифицировать СМО:

-с отказами (нет накопителя);

-многоканальная (5 телефонов = 5 каналов).

2. Обозначения:

λ – интенсивность потока заявок (λ=90зв/60мин=3зв/2мин)

n – число каналов (n=5);

μ – интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени (μ=1/ t_обс)

t_обс – среднее время обслуживания (t_обс=2мин)

ρ – интенсивность нагрузки;

k – номер заявки (число заявок), k=n=5;

Р₀ – вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок;

Р_отк – вероятность отказа в обслуживании, когда поступившая на обслуживание заявка найдет все каналы занятыми;

Р_обс – вероятность обслуживания.

n_з = ρ* Р_обс  - среднее число занятых обслуживанием каналов.

к_з = n_з / n - для каналов, занятых обслуживанием.

А = λ Р_обс - абсолютная пропускная способность СМО.

3. Определяем характеристики данной СМО:

  а) ρ = λ/μ = λ/(1/t_обс) = λ t_обс = 3/2 * 2 = 3

                         _n

  б)  Р_о= 1/ (Σρ^к/к!) = 1/ (ρ⁰/0!)+(ρ¹/1!)+(ρ²/2!)+(ρ³/3!)+(ρ⁴/4!)+(ρ⁵/5!)=     

                      ^к=0

=1/ (1+3/1)+(3*3/1*2)+(3*3*3/1*2*3)+(3*3*3*3/1*2*3*4)+

+(3*3*3*3*3/1*2*3*4*5)=1/ 1+3+(9/2)+(27/6)+(81/24)+(243/120)=0,054

  в)  Р_отк= ρⁿ/ n!* Р_о= (3⁵/ 1*2*3*4*5)*0,054=(3*3*3*3*3/1*2*3*4*5)*0,054=

= (243/120)*0,054=0,12

  г) Р_обс = 1- Р_отк= 1-0,12=0,88

  д) n_з =  ρ*Р_обс= 3*0,88=2,6

  е) к_з = n_з / n = 2,6/5=0,52

  ж)  А = λ Р_обс = (3/2)*0,88 = 1,31.

      Пример № 2.

  На автомобильной стоянке возле магазина имеется 2 места. Рядом находится площадка на 2 а/м. На стоянку прибывает 1 машина в 3 мин. Среднее время нахождения водителя в магазине 2 мин.            

      Определить характеристики этой СМО и сделать анализ СМО.

Решение:

1) Классифицируем СМО:

- с ограниченной длиной очереди

- с накопителем

- многоканальная

- с ограничением общего времени пребывания заявки в системе СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди.

2) Обозначения:

  m=2 - длина накопителя

   n=2 - число каналов

  Остальные обозначения - как в Примере № 1.

3) Определяем характеристики данной СМО:

  а) λ = 1/3;        

  б) t_обс = 2 мин;

  в) ρ = λ/μ = λ/(1/t_обс) = λ t_обс = (1/3)*2=2/3.

  г) Вероятность простоя каналов:

              _n

  Р_о= 1/(Σρ^к/n!)+ρⁿ⁺¹/n!(n-ρ)*[1-(ρ/n)^m]= 1/ ((ρ⁰/0!)+(ρ¹/1!)+(ρ²/2!)+

                    ^к=0

+(ρ²⁺¹/1*2(2-ρ))*[1-(ρ/2)²]=1/ ( (2/3)/0! )+2/3+( (2/3)²/(1*2) )+

+( (2/3)³/ 2(2-2/3) ) [1- ( (2/3)/2 )]= 1/ 1+2/3+2/9+1/9[1-1/9]=0,52

    д) Вероятность отказа в обслуживании:

  Р_отк= ρ^n+m/ n!n^m*Р_о= ( (2/3)⁴/1*2*2² )*0,52=(16/81)/8*0,52=0,013

    е) Вероятность обслуживания:

  Р_обс = 1- Р_отк= 0,987

    ж) Абсолютная пропускная способность:

  А = λ Р_обс= 0,987*1/3=0,33

    з) Среднее число занятых каналов:

  n_з =  ρ*Р_обс= 2/3*0,987=0,658

Для каналов, занятых обслуживанием:

  к_з = 0,658/2=0,329.

    и) Среднее число заявок в очереди:

  _

  L_oч= ρⁿ⁺¹/n*n! * ( 1-(ρ/n)^m(m+1-mρ/n) )/(1-ρ/n)² * Р_о

  _

  L_oч =( (2/3)³/(2*2) )* 1-( (2/3)/2)² )*( 2+1-2*((2/3)/2) )/ (1-(2/3)/2)²) *0.52

=(8/27)/4* * (1-1/9*7/3) /(4/9)= 2/27*((20/27)/(4/9))*0.52=2/27*5/3*0.52=0.14

     к) Среднее время ожидания обслуживания:

          _

В лекции "Модели восстановления платежеспособности" также много полезной информации.

  t_or= L_oч/ λ = 0.14/0.33=0.42

л) Среднее число заявок в системе:

        _

  Z= L_oч+ n_з =0,14+0,66=0,8

     м) Среднее время пребывания в системе:

  t_смо= Z/ λ = 0,8/0,33=2,42 или t_смо= t_oч+ t_oбс= 0,42+2=2,42 мин