Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнения с разделяющимися переменными

            Определение. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде

.

            Такое уравнение можно представить также в виде:

Перейдем к новым обозначениям

Получаем:                                         

            После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Рекомендуемые материалы

            Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.

            Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям (см. Интегрирование по частям.):

- это  есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.

Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х.

 - верно

            Пример. Найти решение дифференциального уравнения  при условии у(2) = 1.

при у(2) = 1 получаем

Итого:    или  - частное решение;

            Проверка:  , итого

 - верно.

            Пример. Решить уравнение

                                                                - общий интеграл

                                                                 - общее решение

            Пример. Решить уравнение

            Пример. Решить уравнение при условии у(1) = 0.

Интеграл, стоящий в левой части будем брать по частям (см.  Интегрирование по частям. ).

            Если у(1) = 0, то

            Итого, частный интеграл: .

            Пример. Решить уравнение .

Для нахождения интеграла, стоящего в левой части уравнения см. Таблица основных интегралов. п.16. Получаем общий интеграл:

            Пример. Решить уравнение

Преобразуем заданное уравнение:

         Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения выразить искомую функцию у, то получим общее решение.

            Пример. Решить уравнение .

Лекция "Тема 2. Характеристика государственного сыска" также может быть Вам полезна.

;          ;

Допустим, заданы некоторые начальные условия х₀ и у₀. Тогда:

Получаем частное решение