Уравнения Лагранжа и Клеро

Уравнения Лагранжа и Клеро.

( Алекси Клод Клеро (1713 – 1765) французский математик

ин. поч. член Петерб. АН )

            Определение. Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение, линейное относительно х и у, коэффициенты которого являются функциями от y’.

            Для нахождения общего решение применяется подстановка p = y’.

Дифференцируя это уравнение,c учетом того, что , получаем:

Рекомендуемые материалы

Если решение этого (линейного относительно х) уравнения есть то общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде:

            Определение. Уравнением Клеро называется уравнение первой степени (т.е. линейное) относительно функции и аргумента вида:

            Вообще говоря, уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа.

С учетом замены , уравнение принимает вид:

        

Это уравнение имеет два возможных решения:

 или

В первом случае:

Видно, что общий интеграл уравнения Клеро представляет собой семейство прямых линий.

Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений:

Исключая параметр р, получаем второе решение F(x, y) = 0. Это решение не содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следовательно, не является частным решением.

Это решение будет являться особым интегралом. ( См. Особое решение. )

Далее рассмотрим примеры решения различных типов дифференциальных уравнений первого порядка.

            Пример. Решить уравнение с заданными начальными условиями.

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Для неоднородного уравнения общее решение имеет вид:

Дифференцируя, получаем:

Для нахождения функции С(х) подставляем полученное значение в исходное дифференциальное уравнение:

Итого, общее решение:

C учетом начального условия определяем постоянный коэффициент C.

Окончательно получаем:

Для проверки подставим полученный результат в исходное дифференциальное уравнение:           верно

Ниже показан график интегральной кривой уравнения.

Пример. Найти общий интеграл уравнения .

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Общий интеграл имеет вид:

Построим интегральные кривые дифференциального уравнения при различных значениях С.

                                                                   С = - 0,5                              С = -0,02                      С = -1                 С = -2

                                                           С = 0,02                      С = 0,5                       С = 1                      С = 2

            Пример. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Общее решение имеет вид:

Найдем частное решение при заданном начальном условии у(0) = 0.

Окончательно получаем:

            Пример.  Решить предыдущий пример другим способом.

            Действительно, уравнение  может быть рассмотрено как линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

            Решим соответствующее ему линейное однородное уравнение.

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Тогда

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Итого              

С учетом начального условия у(0) = 0 получаем

Как видно результаты, полученные при решении данного дифференциального уравнения различными способами, совпадают.

При решении дифференциальных уравнений бывает возможно выбирать метод решения, исходя из сложности преобразований.

            Пример.  Решить уравнение с начальным условием у(0) = 0.

Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.

            Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид:

Для определения функции С(х) найдем производную функции у и подставим ее в исходное дифференциальное уравнение.

            Итого       

Проверим полученное общее решение подстановкой в исходное дифференциальное уравнение.

 (верно)

Найдем частное решение при у(0) = 0.

Окончательно

            Пример. Найти решение дифференциального уравнения

с начальным условием у(1) = 1.

            Это уравнение может быть преобразовано и представлено как уравнение с разделенными переменными.

    

 

  

С учетом начального условия:

Окончательно  

            Пример. Решить дифференциальное уравнение  с начальным условием  у(1) = 0.

Это линейное неоднородное уравнение.

Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Подставим в исходное уравнение:

Общее решение будет иметь вид:  

C учетом начального условия у(1) = 0:  

Частное решение:  

Пример. Найти решение дифференциального уравнения  с начальным условием у(1) = е.

Это уравнение может быть приведено к виду уравнения с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.

Обозначим:

Уравнение принимает вид:

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

Сделаем обратную замену:

Общее решение:

C учетом начального условия у(1) = е:   

Частное решение:

            Второй способ решения.

            Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Соответствующее однородное:

            Решение исходного уравнения ищем в виде:

Тогда

Подставим полученные результаты в исходное уравнение:

            Получаем общее решение:

            Пример. Решить дифференциальное уравнение  с начальным условием у(1)=0.

В этом уравнении также удобно применить замену переменных.

Уравнение принимает вид:

Делаем обратную подстановку:

Общее решение:

C учетом начального условия у(1) = 0: 

Частное решение:  

            Второй способ решения.

Замена переменной:  

Обратите внимание на лекцию "13.8 Диагностика неисправностей видеоадаптеров".

Общее решение: