Приближенное решение систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений

Тема 6. Приближенное  решение  систем  нелинейных  алгебраических  и  трансцендентных  уравнений .

Системы  нелинейных  алгебраических  и  трансцендентных  уравнений  в  общем  виде  можно  представить  как

                                                                                                   (6.1)

Эта  система  уравнений  имеет  и  другую  форму  записи  в  векторном  виде

                                                 ,                                                                               (6.2)

здесь     -  вектор-функция  от  векторного  аргумента   .  Элементами вектор-функции     являются  функции  f₁,  f₂, …,  f_n.   Элементами  аргумента  . -  неизвестные  x₁,  x₂,  … ,  x_n.   Важно  отметить,   что  в  правой  части  каждого  уравнения   системы  (6.1)  находится  нуль,  т.е.  если  в  заданной  системе  уравнений  правая  часть  не  равна  нулю,  то  ее  необходимо  привести  к  виду  (6.1)  переносом  всех  слагаемых  из  правой  части  в  левую  (с  изменением  знака  перед  ними).

            Количество  корней  системы  (6.1)  может  быть 

- ни  одного;

Рекомендуемые материалы

- конечное  число;

- бесконечное  множество.

Решение  таких  систем  аналитическими  методами,  как  правило,  невозможно  или  очень  сложно.  Поэтому  наиболее  часто  нахождение  корней  таких  уравнений  производится  приближенными  методами.  Все  эти  методы  требуют  предварительного  нахождения  начального  приближения  к  значению  (каждого)  искомого  корня,  а  затем  уже  использование  конкретного  метода  позволяет  его  уточнить  с  заданной  степенью  точности.   В  двухмерном  случае  начальное  приближение  можно  получить  графическим  методом  как  координаты  (одной)  из  точек  пересечения  графиков,  соответствующих  каждому  из  двух  уравнений.

Метод Ньютона  для  поиска  корней  системы нелинейных  уравнений  является  аналогом  метода  Ньютона  для  нелинейных  уравнений.   Его  незначительная  модификация,  называемая  методом  Ньютона-Канторовича,  более  пригодна  для  проведения  расчетов  в   Excel.  Как  и  в  методе  Ньтона  для  нелинейных  уравнений  для  нахождения  какаго  либо  корня  системы  нелинейных  уравнений  необходимо  сначала  каким-то  образом  найти  начальное  приближение  к  этому  корню  (т.е.  вектор

                                      ),    а  затем  уже  исполузуя  итерационные  формулы  метода  проводится  его  уточнение  до  достижения  заданной  точности.  Изложение  метода  (и  его  использование)  удобнее  проводить  в  матричной  форме  записи.  При  этом,  кроме  векторов  ,    и  .(i  -  номер  итерации,  i ³ 0)  используется  также  матрица  A  (размерности  n ´ n),  состоящая  из  частных  производных  все  компонент  вектора   по  всем  компонентам  вектора  :

.

Рассмотрим  эти  методы  для  случая  n=2,  т.е.  когда  уравнений  в  системе  два  и  неизвестных  тоже  две.  В  этом  случае 

   ,   и      .

Идея  метода  заключается  в  разложении  вектор-функции  в  ряд  Тейлора  в  окрестности  начального  приближения  с  сохранением  только  слагаемых  первой  степени  малости.  Обозначим  найденое  (каким-то  образом)  начальное  приближенние  к  искомому  корню  через  .  Тогда  можно  приближенно  записать

,          (6.3)

На  основе  формуля  (6.3)  строится  итарационная  формула.  А  имеено,    выбирается  так,  чтобы  .  Тогда  (в  общем  виде)  итерационная  формула  будет  иметь  вид

          ,                               (6,4)

В  методе  Ньютона  эту  итерационную  формулу  преобразуют  к  виду

,                                        (6.5)

В  координатном  виде  формула  (6.5)  представляет  систему  из  двух  уравнений  относительно  двух  неизвестных  x_i+1  и  y_i+1.   В  матричном  виде  решение  ее  будет  иметь  вид

                                             ,

  вспомогательный  вектор-столбец  z,  содержащий  n  элементов.  

.

     .                                     (6,3)

Итерационная  формула  метода  в  матричной  записи  имеет  следующий  вид

                                     z_j  =  - A^-1(x_j )×F(x_j )                                                                             (6.4)

                                     x_{j +1}  =  x_j  +  z_j,

здесь   j  -  номер  иттерации,   x₀  -  начальное  приближение  искомого  корня.  Процесс  иттераций  завершается,  если  все  элементы  последнего  вектора  z    по  абсолютной  величине  станут  меньше  заданной  точности  (говоря  точнее,   когда  норма  вектора  z  станет  меньше  заданной  точности).   Вычисления  данным  методом  удобно  производить  в  Excel  c  использованием  функций  матричной  алгебры.  Результаты  расчетов  представляются  в  виде  таблицы,  приведенной  в  нижеследующем  примере.

            Для  случая  n=2  система  уравнений  чаще  всего  имеет  такой  вид :

                                                      .

В  качестве  переменной  х₁  здесь  выступает  переменная  х,   а  в  качестве  переменной   х₂  -  переменная  y.   Матрица   А,   векторы   F   и  z   в  этом  случае  примут  вид :

                 А = ,              F = ,                  z =   ,

            Порядок  решения  системы  нелинейных  уравнений  методом  Ньютона-Канторовича  состоит  в  последовательном  выполнении  следующих  действий :

1. Найти  начальное  (нулевое)  приближение   х₀  искомого  корня  заданной  системы  уравнений.  Для  случая  n=2  это  можно  сделать  графическим  методом,  построив  графики  каждой  из  функций  и  приближенно  определив  координаты  точек  пересечений  графиков.  В  этом  случае  вектор  начального  приближения  может  иметь  вид   ;

2. Привести  заданную  систему  к  виду  (6.1),  перенести  все  слагаеміе  из  правой  чпсти  уравнений  в  левую;

3. Записать  в  аналитическом  виде  матрицу  А,  используя  формулу  (6.3);

4. Примем  j=0;

5. Подставим  значение  х_j  в  аналитические  выражения  для  матрицы  А  и  вектора  F;

6. Найдем  обратную  матрицу  А^-1;

7. По  формулам  (6.4)  найдем  вектор  z_j  и  вектор  х_j+1;

8. Найдем  норму  вектоа  z_j;

9. Если  норма  вектора  z_j  больше  заданной  точности  вычисленя  (норма  больше  ε)  -  нарастим  значение   j   на  единицу  и  возвратимся  к  пункту  5  этого  перечня;

10. За  найденное  решение  примем  последнее  полученное  значение  вектора  х.

Более  подробно  этот  порядок  можно  разобрать  при  анализе  решения  приведенного  ниже  примера.

            Для  контроля  за  правильностью  хода  решения  следует  отслеживать  значения  вектора  F(x).   Значения  его  должны  убывать  по  абсолютной  величине,  в  последних  итерациях  быть  близкими  к  нулю.

Пример 1.  Используя  метод  Ньютона-Канторовича  с  точностью  Е=0.001  найти   один  из  корней  системы  нелинейных  уравнений

                                   .       

Определим  графически  начальное  приближение  искомого  корня.  Для  этого  построим  на  одной  и  той  же  координатной  плоскости  графики  обоих  функций.  Поскольку  первое  уравнение  представляет  собой  график  окружности  с  центром  в  начале  координат,  преобразуем  его  к  двум  уравнениям  (отдельно  для  верхней  полуплоскости  и  для  нижней  полуплоскости)   и ,  таким  образом,  получим  две  системы

.                     и                          .

Построим  их  графики  с  помощью  Excel.  Получим

По  точкам  пересечения  графиков  определим  начальные  приближения  искомых  корней.  Как  видно  -  система  уравнений  имеет  два  корня.  Найдем  один  из  них.  За  начальное  приближение  примем   x₀=1.3,  y₀=1.7.  Дальнейшие  вычисления  проведем  с  использованием  Excel.  Результаты  вычислений  представим  в  виде  таблицы

Корень  системы  уравнений  с  заданной  точностью  найден  и  равен

                                 x=1.217,   y=1.876.