Дайте определение условного математического ожидания и докажите его основное свойство
Дайте определение условного математического ожидания и докажите его основное свойство.
Условным математическим ожиданием M(X|Y) дискретной случайной величины X относительно дискретной случайной величины Y называют функцию M(X|Y) = g(Y) от случайной величины Y, где область определения функции g(y) совпадает с множеством значений y1, …, ym случайной величины Y, а каждому значению yj аргумента y поставлено в соответствие число g(yj) = M(X|yj). Для непрерывной величины
Для дискретной -
Свойства условного математического ожидания:
1. M(c|Y) º c
2. M(aX+b|Y) = aM(X|Y)+b
3. M(X1+X2|Y) = M(X1|Y)+M(X2|Y)
4. Пусть случайные величины X1 и X2 являются независимыми при условии, что случайная величина Y приняла любое конкретное значение. Тогда M(X1X2|Y) = M(X1|Y) M(X2|Y).
5. MX = M(M(X|Y))
Рекомендуемые материалы
6. Пусть u(X) и v(Y) – функции от случайных величин X и Y. Тогда M(u(X)v(Y)|Y) = v(Y) M(u(X)|Y)
7. Если X и Y – независимые случайные величины, то M(X|Y) º MX.
Люди также интересуются этой лекцией: Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба графика функции.
Доказательство:
1),2),3)-опираются на свойства интеграла и суммы (как для безусловного).
4)--????
5)
6)
7)