Переходные вероятности. Определение марковского процесса

§1. Переходные вероятности. Определение марковского процесса.

1.1. Пусть имеется стохастический базис . Пусть на стохастическом базисе задан случайный процесс со значениями в , где – польское пространство. Будем считать, что   

Определение. Случайный процесс  называется марковским, если для , Р – п.н.

                                                                       (1)

для любого .

Замечание.   В силу теоремы Бореля для каждого существуют:

а) измеримый функционал, обозначаемый через , такой, что , следовательно

Р – п.н.

б) измеримая функция, обозначаемая через , такая, что , следовательно  Р – п.н.

Рекомендуемые материалы

причем, в силу (1) Р – п.н. , т.е.  Р – п.н.

1.2. Пусть– измеримое пространство, Е – польское (полное сепарабельное метрическое) пространство, .

Определение.  Пусть, обозначаемая, такая, что и

1) - при фиксированных  – мера;

2) - при фиксированных  – измеримая (по Борелю) функция.

Тогда  называется переходной вероятностью, или вероятностью перехода.

Гипотеза H₁. Существует семейство переходных вероятностей  для марковского процесса со значениями в, такое, что Р – п.н. для любого

                                                                                           (2)

Определение. Если -  марковский процесс со значениями в и выполнено (2), то мы будем говорить, что задан марковский процесс с семейством переходных вероятностей .

Предложение 1. Пусть - марковский процесс с семейством переходных вероятностей .Тогда при  справедливо

                                                 (3)

где , ((3) называют уравнением Колмогорова–Чепмена).

Доказательство. Доказательство утверждения предложения 1 проводится аналогично доказательству теоремы 1 гл. 2, поэтому его не приводим.

Соглашение H₂: Пусть

Определение.  Марковским процессом в широком смысле (МПШ) называется такой процесс, что:

Бесплатная лекция: "3.6. Операционные системы ЛВС" также доступна.

i) принимает значения в;

ii)  – семейство его переходных вероятностей;

iii) выполнены гипотеза Н₁ и соглашение Н₂.

1.3. Закон входа МПШ. Пусть и , где  - марковский процесс в широком смысле, тогда, в силу его марковского свойства, имеем:

.                                                             (4)

Равенство (4) называется законом входа для МПШ.