Операторы, порождаемые вероятностями перехода МПШ

§2. Операторы, порождаемые вероятностями перехода МПШ.

2.1. Пусть – множество всех конечных мер на  и . Пусть  - семейство переходных вероятностей  некоторого марковского процесса в широком смысле. Обозначим

,                                                                              (5)

где

                                                          (6)

для любых и. Ясно, что    - двухпараметрическое семейство операторов. Из соотношения Чепмена-Колмогорова  следует закон композиции операторов . Действительно, пусть , тогда в силу соотношения Чепмена-Колмогорова и теоремы Фубини, имеем:

Следовательно

.                                                               (7)

Рекомендуемые материалы

2.2. Определим, теперь, второе семейство операторов. Пусть  - множество измеримых ограниченных функций на со значениями в. Положим , т.е. . Из определения вероятности перехода следует, что - измеримая по  функция. Если в ввести норму , то, очевидно, . Следовательно,– двухпараметрическое семейство операторов. Из соотношения Чепмена-Колмогорова при  следуют равенства

Стало быть, закон композиции операторов имеет вид

                                                                                       (8)

Очевидны следующие свойства оператора:

1), 2).

2.3. Определение. МПШ называется однородным (ОМПШ), если  зависят только от разности , т.е.

                                                             (9)

Поэтому удобно ввести обозначение .

Лекция "1. Действия электрического тока на организм человека" также может быть Вам полезна.

Для ОМПШ соотношение Чепмена-Колмогорова будет иметь вид:

В этом случае семейства операторов не зависят от и поэтому вместо двухпараметрического семейства операторовестественно рассматривать однопараметрические семейства , определенные по правилам,:

Очевидно, что:

.                                                                    (10)