Сходимость по распределению

§ 9. Сходимость по распределению.

9.1. Пусть на (Ω,F,P) задана последовательность  случайных элементов со значениями в , где  E - польское пространство, т.е. полное сепарабельное метрическое пространство, а алгебра на E.

Определение.  Будем говорить, что   - последовательность случайных элементов  со значениями в E сходится по распределению при  к случайному элементу  со значениями в E и обозначать , если для любой функции С_b(E), где С_b(E) - пространство непрерывных ограниченных на E функций со значениями в R¹,  справедливо () = M().

Определение.  Семейство вероятностных мер  на  называется слабо сходящимся к некоторой мере P₀ и обозначается
P_n P₀ , если  для любой  С_b(E) 

= .

Из этих определений вытекает утверждение.

Теорема 35. Пусть   - семейство случайных элементов, а  соответствующее им семейство распределений , тогда и только тогда, когда   P_n P_о , т.е. () = M(), для С_b(E).

9.2. Определение.        Семейство вероятностных мер {P_n}_n>1 на  называется относительно компактным, если оно содержит подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторой вероятностной мере Р.

Рекомендуемые материалы

Определение. Семейство вероятностных мер {P_n}_n>1 называется плотным, если для любого >0 существует компакт E такой, что  Р_n( < .

Приведем достаточное условие плотности семейства {P_n}_n>1.

Предложение 36. Если последовательность случайных величин , где >0, равномерно интегрируема, то семейство {P_n}_n>1 плотно.

9.3. Следующее утверждение играет фундаментальную роль в теории слабой сходимости.

Бесплатная лекция: "14. Виды гидравлических сопротивлений" также доступна.

Теорема 37 (Прохоров) Пусть {P_n}_n>1 – семейство вероятностных мер на . {P_n}_n>1  – относительно компактно тогда и только тогда, когда оно является плотным. (без доказательства).

9.4. Теорема 38. Справедливы следующие импликации:

       1)        ,  2)       ,   

      3)       .

Доказательство этого утверждения можно найти например в [ 1 ].