Случайные последовательности - основные определения
Глава 2. Случайные последовательности.
§ 1 Основные определения.
1.1. Пусть 
– измеримое пространство, кроме того, положим, что на 
выделено семейство 
алгебр {Fn}n>0 , обладающих свойствами:
а) для любого 
;
б) 
для любых и 
;
в) 
Определение. Семейство алгебр 
на 
, обладающих свойствами а), б), в) будем называть потоком алгебр или фильтрацией. Измеримое пространство (,) с выделенной фильтрацией будем называть фильтрованным измеримым пространством и обозначать через (
,
,
).
Рекомендуемые материалы
Определение. Фильтрованным вероятностным пространством или стохастическим базисом называется четверка (,,, Р), где Р – вероятностная мера на фильтрованном измеримом пространстве, причем 
– пополнена множествами нулевой меры Р.
Замечание. Напомним, – пополнена множествами нулевой меры Р. Пусть любой элемент В
, Np 
{A 
F: P(A) = 0} и к В добавим Np, т.е. 
. С помощью множеств 
построим новую алгебру, обозначаемую 
. Ясно, что содержит 
- алгебра, её называют пополнением относительно меры Р.
Определение. Будем говорить, что последовательность {
со значениями в измеримом пространстве 
согласована с фильтрацией , если при каждом n она 
- измерима , т.е. {
для любого В
E, и для нее будем использовать обозначение (
,)n>1.
1.2. Пусть на стохастическом базисе (,,,Р) задана согласованная последовательность {
. Введем обозначения: а) F
= 
алгебру, порожденную 
,
б) F
=
, в) 
=
эту алгебру называют обычно хвостовой.Очевидно, что - - измерима.
1.3. Определение. Последовательность (,)n>0 называется марковской, если Р - п. н. для любого 
Р(В|
) = P(B|
), (1)
где 
.
1.3.1 Замечание. В силу теоремы 11 главы 1 (теоремы Бореля) существуют для борелевские функции 
, где 
и 
такие, что Р - п. н. Р(В|) = 
, P(B|) = 
. Поэтому (1) можно переписать в виде Р - п. н.
.
1.4. Определение. Пусть Р: 
, обозначаемая через P(s,
,t,B), s<t, называемая переходной вероятностью (вероятностью перехода) если :
1) при фиксированных s,t,B P(
- измеримая функция;
Лекция "Культура России" также может быть Вам полезна.
2) при фиксированных s,t,x P( 
вероятностная мера на .
Определение. Будем говорить, что {Р(s,,t,B)}-семейство переходных вероятностей марковского процесса (
,)t>0 ,если Р(s,,t,B)
= P
) Р - п. н. для любых s,t,B.
Теорема 1 (Чепмен-Колмогоров). Пусть (,)t>0 – марковская последовательность, а {Р(s,,t,B)} – соответствующее ей семейство переходных вероятностей. Тогда для любых 
справедливо равенство
Р(s,,t,B) = 
. (2)
Доказательство. Пусть 
, тогда Р -п.н.
Р(s,
,t,B) = P) = P(
) = M(
)=M[M(
)|]=M[P(
)|]= =M[P
F
]=
)P
Доказательство закончено.
