Аксиоматика Колмогорова

Глава 1. Основания теории случайных процессов.

§ 1. Аксиоматика Колмогорова.

Определение.  Пусть . - система подмножеств множества  называется алгеброй если:

а) , ;

б) ААА;

в) АА

Определение.  Пусть А - алгебра подмножества множества . Функция : А где, называется конечно аддитивной мерой на А, если А выполняется

Конечно аддитивная мера называется конечной, если . Конечная мера называется вероятностной, если .

Определение. Тройка А,Р), где  - некоторое множество, А- алгебра подмножества множества , Р - конечно аддитивная вероятностная мера на А, называется вероятностной моделью в широком смысле.

Рекомендуемые материалы

Для построения конструктивной математической теории, такое определение вероятностной модели является слишком широким.

Определение. Система F- подмножеств множества  называется алгеброй, если:

1) она является алгеброй,

2) , для  то  и .

Определение .  с алгеброй F называется измеримым пространством и обозначается (,F).

Определение . Конечно аддитивная мера  задана на А называется счетно аддитивной (аддитивной) мерой (или просто мерой), если из того, что для любых попарно непересекающихся множеств А₁, А₂, … из А таких, что А, следует, что 

Счетно аддитивная мера  на F называется конечной, если  можно представить в виде  где А с

Счетно аддитивная мера Р на алгебре А, удовлетворяющая условию Р называется вероятностной мерой определенной на множествах алгебры А.

Приведем некоторые свойства вероятностных мер:

1)

2) если АРР РР.

3) если А и  Р Р.

4) Если А  n=1,2,.. и А Р.
Задача1: Докажите первые три свойства самостоятельно.
Доказательство свойства 4. Заметим, что , где  при  и , .Очевидно, что  при  и  так как , то имеем  .

Вопрос: Когда конечно аддитивная мера является счетно аддитивной?

Теорема 1. Пусть P -  конечно аддитивная функция множеств, заданная на А с =1. Тогда следующее утверждения эквивалентны:

1) P -аддитивна;

Вместе с этой лекцией читают "16 - Так говорил Заратуштра".

2) Р – непрерывна сверху (то есть, если  =1,2,…,где А,

такие что  и А, то ;

3) Р – непрерывна снизу (то есть, если А, =1,2,…    и  А, то ;

 4) Р – непрерывна в нуле (если А, =1,2,…,   и  Ø, то  .

Определение. Тройка (, F, Р ) называется вероятностной моделью или вероятностным пространством, где  называется пространством исходов или пространством элементарных событий, множества  – событиями, где F - алгебра на , а  Р(А) – вероятностью события А.