Применение вычетов к вычислению интегралов (Основная теорема теории вычетов)

§19. Применение вычетов к вычислению интегралов. (Основная теорема теории вычетов)

   Из определения предыдущего параграфа непосредственно следует, что интеграл от аналитической функции по замкнутому контуру, содержащему внутри себя единственную особую точку выражается через вычет в этой точке: . Эта формула легко обобщается следующей теоремой.

Теорема  (Основная теорема теории вычетов). Пусть функция  f(z)  является аналитической всюду в ограниченной замкнутой области  G  с границей  Г  за исключением конечного числа изолированных особых точек  z_k  (k = 1,2,…,n), лежащих внутри области. Тогда

{ Выделим каждую особую точку  z_k  замкнутым контуром  γ_k  , лежащим в области  G  и  содержащим внутри себя эту точку (рис.4).

Лекция "3.3.2 Концепция культурно-исторических типов" также может быть Вам полезна.

 Функция  f(z)  является аналитической в области, ограниченной контурами  Г  и  γ₁,…, γ_n. По следствию теорем  §11  верна формула   Отсюда и из предыдущего параграфа следует утверждение теоремы}

   Данная формула часто используется для вычисления интегралов от комплексных функций.

Пример.  Вычислить интеграл   где  С − окружность 

{ Подынтегральная функция имеет два полюса первого порядка,  лежащие внутри окружности  С. Оба вычета легко определяются (§18). Итак:  

  }