Вычет аналитической функции в изолированной особой точке
§18. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке.
Пусть точка z0 является изолированной особой точкой однозначной аналитической функции
f(z) . Согласно предыдущему, в окрестности этой точки f(z) может быть представлена единственным образом рядом Лорана : где
Определение. Вычетом аналитической функции f(z) в изолированной особой точке z0
называется комплексное число, равное значению интеграла , взятому в положительном направлении по любому замкнутому контуру, лежащему в области аналитичности функции и содержащему внутри себя единственную особую точку z0.
Вычет обозначается символом Res [f(z), z0].
Нетрудно видеть, что вычет в правильной или устранимой особой точке равен нулю.
В полюсе или существенно особой точке вычет равен коэффициенту с-1 ряда Лорана:
.
Рекомендуемые материалы
Пример. Найти вычет функции .
{Пусть Легко видеть, что
коэффициент с-1 получится при умножении слагаемых при n = 0: Res[f(z),i] = }
Часто удается вычислять вычеты функций более простым способом. Пусть функция f(z) имеет в т. z0 полюс первого порядка. В этом случае разложение функции в ряд Лорана имеет вид (§16): . Умножим это равенство на (z − z0) и перейдем к пределу при . В результате получим: Res[f(z), z0] = Так, в
"8.3. Постмодернистская модель мира" - тут тоже много полезного для Вас.
последнем примере имеем Res[f(z),i] =.
Для вычисления вычетов в полюсах более высокого порядка следует умножить функцию
на (m − порядок полюса) и продифференцировать полученный ряд (m −1) раз.
В этом случае имеем: Res[f(z), z0]
Пример. Найти вычет функции в т. z = −1.
{ Res[f(z), −1] }