Бесконечно удаленная особая точка

§17. Бесконечно удаленная особая точка.

Определение. Бесконечно удаленная точка комплексной плоскости называется изолированной особой точкой  однозначной аналитической функции f(z), если вне круга некоторого радиуса R,

т.е. при  ,  нет ни одной конечной особой точки функции f(z).

   Для исследования функции в бесконечно удаленной точке сделаем замену   Функция

 будет иметь особенность в точке ζ = 0, причем эта точка будет изолированной, так как

внутри круга    других особых точек по условию нет. Являясь аналитической в этом

круге (за исключением т. ζ = 0 ),  функция  может быть разложена в ряд Лорана по степеням  ζ.  Классификация, описанная в предыдущем параграфе полностью сохраняется.

Бесплатная лекция: "Снежный покров" также доступна.

Однако, если вернуться к исходной переменной  z , то ряды по положительным и отрицательным степеням  z  ‘поменяются’ местами. Т.е. классификация бесконечно удаленных точек будет выглядеть следующим образом:

1) Ряд Лорана функции  f(z)  не имеет слагаемых с положительными степенями:  −  устранимая особая точка:  Если, при этом, сумма начинается с  n = m > 0, то  z = ∞  ноль  m−го порядка.

2) Ряд Лорана функции  f(z)   имеет конечное число слагаемых с положительными степенями: − полюс  m−го порядка:

3) Ряд Лорана функции  f(z)   имеет бесконечное число слагаемых с положительными степенями: существенно особая точка. Вне любого круга радиуса  R  функция  f(z)  принимает все комплексные значения.

Примеры.  1. .   Точка  z = i  −  полюс 3-го порядка. 

                   2. . Точка  z = ∞  − существенно особая точка.