Ряды Лорана
§15. Ряды Лорана.
При исследовании функций комплексной переменной большую роль играют ряды по степеням
(z – z0) более общего вида нежели рассмотренные ранее.
Определение. Рядом Лорана называется ряд 
.
Т.е. суммируются все целые степени бинома (z – z0). Поэтому ряды Лорана обычно
записывают следующим образом: 
Необходимым и
достаточным условием сходимости ряда Лорана является, очевидно, одновременная сходимость рядов S1 и S2 . Ряд S1 представляет собой обычный степенной ряд (см. §6 ) и сходится в круге
радиуса R1 c центром в т. z0 : 
Для исследования второго ряда ( S2 ), сделаем замену переменных: 
Получившийся ряд 
является степенным рядом и сходится в
области 
Возвращаясь к исходной переменной, получим: 
Если R2 > R1 , то соответствующий ряд Лорана расходится во всех точках комплексной плоскости. Если же R2 < R1 , то областью сходимости будет кольцо
Рекомендуемые материалы
. Имеет место следующая теорема:
Теорема. Функция f(z), аналитическая в круговом кольце , однозначно представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана. {б/д}
Пример. Найти все разложения функции 
по степеням z.
{ Представим функцию следующим образом: 
1) Каждое из слагаемых разложим в степенной ряд, пользуясь результатом примера §14:
. Ряд S1 сходится в круге 
,
ряд S2 – в круге 
. После несложных преобразований получаем:
− ряд Маклорена, сходящийся в круге .
2) Разложим функцию относительно бесконечно удаленной точки, сделав преобразование 
.
Область сходимости первого ряда 
, второго – 
Вернувшись к исходной
переменной, получим: 
− ряд Лорана, написанный только
Люди также интересуются этой лекцией: 9. Первая помощь при ожогах.
по отрицательным степеням z , сходящийся в области 
.
3) Если теперь сложить ряды 
и S2 ( равен первому, а S2 − второму слагаемому исходной функции, то мы получим полный ряд Лорана, сходящийся в кольце 
:
}
Используя следствия интегральной формулы Коши (§13), коэффициенты ряда Лорана могут быть представлены в интегральной форме. Для этого проведем две окружности С1 и С2 с центрами и т. z0 , радиусы которых удовлетворяют условию 
. Тогда
, где С – произвольный замкнутый контур, лежащий
между окружностями С1 и С2 и содержащий т. z0 .
