Ряды Тейлора и Маклорена
§14. Ряды Тейлора и Маклорена.
В §6 были введены понятия рядов Тейлора и Маклорена функции f(z). Рассмотрим теперь более подробно свойства этих рядов. Для определенности, будем рассматривать только ряды Тейлора. Итак, пусть функция f(z) равна сумме некоторого степенного ряда в области его сходимости: 
Так как степенной ряд равномерно сходится в любом замкнутом круге 
(D − область сходимости) , то f(z) является непрерывной ,
бесконечно дифференцируемой функцией ( как сумма непрерывных и бесконечно дифференцируемых функций). Отсюда сразу следует, что f(z) − аналитическая функция в указанной области 
. Имеет место и обратное утверждение:
Теорема Тейлора. Функция f(z) , аналитическая внутри круга 
, может быть однозначно представлена в этом круге сходящимся степенным рядом 
.
{Пусть z − произвольная внутренняя точка круга сходимости D. Построим окружность 
с центром в т. z0 , так, чтобы т. z лежала внутри этой окружности. По формуле Коши имеем: 
. Представим подынтегральную функцию в виде ряда бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 
и проинтегрируем полученный ряд почленно (в силу равномерной сходимости ряда):
. Используя следствие интегральной формулы Коши (§13), полученный ряд можно написать следующим образом: 
.
Если предположить, что существует некоторый степенной ряд, сходящийся к той же функции:
Рекомендуемые материалы
, то последовательно дифференцируя это равенство, получим 
,
Рекомендуем посмотреть лекцию "54 Ян Собеский".
что и доказывает единственность разложения }
Замечание. В действительной области бесконечной дифференцируемости функции недостаточно для разложимости в ряд Тейлора (ехр(-1/х2)).
Пример. Написать разложение в ряд Маклорена функции 
и определить его радиус сходимости. { Производная любого порядка в т. z = 0 легко вычисляется:
Отсюда: 
. Радиус сходимости
находится по признаку Даламбера: 
R = 1.
(область сходимости обусловлена тем, что в т. z = 1 функция не является аналитической) }
