Распределения квадратичных форм

5.5. Распределения квадратичных форм

После доказательства теоремы 5.3.1 отмечено, что если вектор у имеет нормальное распределение N_n(y, I), то квадратичная форма (у–y)^Т(у–y) имеет центральное распределение c²(n). Если же вектор у имеет нормальное распределение N_n(y, S), то имеющую также центральное распределение c²(n) квадратичную форму можно представить в виде

(у–y)^ТS^–1(у–y).                                                        (5.5.1)

Чтобы доказать это, запишем (у–y)^ТS^–1(у–y) следующим образом

(у–y)^ТS^–1(у–y)=(у–y)^ТS^–1/2S^–1/2(у–y)

=[S^–1/2(у–y)]^Т[S^–1/2(у–y)]

=z^Тz,

где z=S^–1/2(у–y) и S^–1/2=(S^1/2)^–1. Вектор z имеет математическое ожидание

Е[S^–1/2(у–y)]=S^–1/2[Е(у)–y]=0

Рекомендуемые материалы

и ковариационную матрицу

C[S^–1/2(у–y)]=S^–1/2C[у–y]S^–1/2=S^–1/2S^1/2S^1/2S^–1/2=I.

Следовательно, по пункту 2 теоремы 4.5.2 вектор z=S^–1/2(у–y) имеет нормальное распределение N_n(0, I). Поэтому, в силу (5.3.1), квадратичная форма z^Тz имеет центральное распределение c²(n). Обратим внимание на сходство между (у–y)^ТS^–1(у–y) и (у–y)(s²)^–1(у–y) для одной случайной переменной у. Квадратичная форма (у–y)s^–2(у–y) имеет распределение c²(1), если переменная у имеет нормальное распределение N(y, s²).

В следующей теореме рассматривается условие нецентрального распределения квадратичных форм в общем. При её доказательстве будем считать, что симметричная матрица А некоторых числовых значений имеет ранг r, а параметр не центральности g =y^TAy/2 [Searle (1971) стр.57-58].

Теорема 5.5. Если вектор у имеет нормальное распределение N_п(y, S), то квадратичная форма у^TAy имеет нецентральное распределение c²(r, g), если и только если произведение матриц AS даёт идемпотентную матрицу.

Доказательство: По теореме 5.2.2 функция, производящая моменты распределения переменной q=у^TAy, имеет вид

M_q(t)=[det(I–2tAS)]^–1/2exp{–y^T[I–(I–2tAS)^–1]S^–1y/2}.

В силу (П.12.5), собственными значениями матрицы I–2tAS являются 1–2tl_i (i =1, 2,..., п), где l_i - собственные значения матрицы AS. Зная, что определитель квадратной матрицы равен произведению её собственных значений, в силу (П.12.14), получаем det(I–2tAS) =. При условии –1< 2tl_i<1 для всех i, в силу (П.12.9), имеем (I–2tAS)^–1 =I+. Таким образом, в показателе экспоненты функции M_q(t) получаем I–(I–2tAS)^–1=– и функция M_q(t) принимает вид

M_q(t)=exp{–y^T[–]S^–1y/2}.

Допустим, что матрица AS идемпотентная ранга r (ранг матрицы А), тогда (AS)^k=AS и r её собственных значений равны 1, а остальные равны 0. Поэтому получаем

M_q(t)=exp{–y^T[–]ASS^–1y/2}

=(1–2t)^–r/2exp{–y^T[1–(1–2t)^–1]Ay/2},

где 1–(1–2t)^–1=–, при условии –1<2t <1, что согласуется также с требованием существования производящей моменты функции для значений t в окрестности 0. Таким образом

M_q(t)=(1–2t)^–r/2exp{–[1–(1–2t)^–1]y^TAy/2},                          (5.5.2)

что, в силу (5.3.8), является функцией, производящей моменты случайной переменной, распределённой по нецентральному закону c² со степенями свободы r=ранг(А) и параметром не центральности g =y^TAy/2.

Докажем обратное, а именно, если у^TAy имеет распределение c²(r, g), то матрица AS идемпотентная и ранга r. В этом случае, зная распределение переменной у^TAу, имеем функцию, производящую моменты этой переменной, данную выражениями (5.5.2) и (5.2.5). Правые части этих выражений должны быть равны для всех значений вектора y, в частности, и для y=0. Подставляя y=0 в (5.2.5) и (5.5.2) и приравнивая их правые части, получаем

(1–2t)^–r/2=[det(I–2tAS)]^–1/2.

Заменяя в полученном выражении 2t на и и преобразуя его, получаем

(1–и)^r=det(I–иAS).

Пусть l₁, l₂, ..., l_n - собственные значения матрицы АS, тогда

(1–и)^r=.

Это выражение, будучи тождественным относительно и, в правой части не должно иметь превосходящих r степеней и. Следовательно, по крайней мере, одно l_i равно нулю. А повторение этого рассуждения показывает, что n–r собственных значений равны нулю, и поэтому получается

(1–и)^r=.

Беря логарифм от этого выражения, и приравнивая выражения под логарифмом, получаем r уравнений для r неизвестных собственных значений l_i. Все они имеют решение l_i=1 при i=1, 2, ..., r. Таким образом, n–r собственных значений АS равны нулю, а r из них равны единице. Поэтому, по теореме П.6.8 матрица AS является идемпотентной и теорема доказана.

□

Другие доказательства этой теоремы даны в книге [Hocking (2003) стр.602-603] и статье [Driscoll (1999)]. В ней наиболее важно то, что, если произведение AS даёт идемпотентную матрицу, то квадратичная форма у^TAy имеет нецентральное распределение c². Однако, полезно также знать, что, если у^TAy имеет распределение c²(r, g), то матрица результата произведения AS идемпотентная и ранга r.

Рассмотренная теорема имеет много следствий, зависящих от значений вектора y и матрицы S, а также выбора матрицы А. Некоторые из них, представляющие интерес, приведены ниже.

Следствие 1. Если вектор у ~ N_п(0, s²I), то квадратичная форма у^TAy имеет распределение c²(r), если и только если матрица A идемпотентная и ранга r.

Доказательство: В этом случае S=s²I и A заменяется на A/s². При этом имеем матрицу (A/s²)( s²I)=A, которая является идемпотентной.

□

Следствие 2. Если вектор у ~ N_п(y, s²I), то квадратичная форма у^TAy/s² имеет распределение c²[r, y^TAy/(2s²)], если и только если матрица A идемпотентная и ранга r.

Доказательство: По теореме 5.5 квадратичная форма у^T(A/s²)у имеет распределение c²(r, g), если (A/s²)S идемпотентная. В этом случае S=s²I поэтому (A/s²)S=(A/s²)(s²I)=A. Для g имеем g=y^T(A/s²)y/2=y^TAy/(2s²).

□

Следствие 3. Если вектор у ~ N_n(0, S), то квадратичная форма у^TAy имеет распределение c²(r), если и только если AS идемпотентна и ранга r.

Доказательство: Параметр не центральности g =y^TAy/2=0^TA0/2=0.

□

Следствие 4. Если вектор у ~ N_п(y, s²I), то квадратичная форма у^Ty/s² имеет распределение c²[п, y^Ty/(2s²)].

Доказательство: Матрица AS=(I/s²)(s²I)=I идемпотентная, ранг(I)=п и параметр не центральности g =y^T(I/s²)y/2=y^Ty/(2s²).

□

Следствие 5. Если вектор у ~ N_п(y, s²S), то квадратичная форма у^TAy имеет распределение c²[r, y^TAy/(2s²)], если и только если А идемпотентная и ранга r.

Бесплатная лекция: "9 Электронная память" также доступна.

Доказательство: В этом случае имеем (А/s²)(s²S)=AS.

□

Для дополнительных следствий см. упражнение 5.7.

Пример 5.5. Применяя следствие 2 теоремы 5.5, рассмотрим распределение величины (n–1)s²/s²=, где вектор у^T= [y₁, y₂,..., у_n] имеет нормальное распределение N_n(y1, s²I), как в примерах 5.1 и 5.2.1. В примере 5.2.1 имеем  =y^Т(I–E/n)y. В разделе 5.1 показано, что матрица I–E/n идемпотентная. Тогда по теореме П.13.4, ранг(I–E/n)=след(I–E/n)=n–1. Затем найдем значение параметра g следующим образом

g ======0.

Следовательно, y^Т(I–E/n)y/s² имеет распределение c²(n–1).