Теоремы разложения
Лекция 3.
Теоремы разложения.
Сформулируем достаточные условия изображения – требования, предъявляемые к функции комплексной переменной, чтобы она была изображением некоторого оригинала.
1. Функция - аналитическая при (константа определяет третье требование к оригиналу).
2. сходится ().
3. .
При выполнении этих требований функция является изображением некоторого оригинала.
Теорема обращения. Пусть функция удовлетворяет достаточным условиям изображения. Тогда справедлива формула обращения
Рекомендуемые материалы
Интеграл, стоящий в правой части этой формулы, называется интегралом Римана – Меллина, он осуществляет обратное преобразование Лапласа (переход от изображения к оригиналу).
Доказательство см.т.Х1 учебника, стр.160 – 166.
Приведем без доказательства лемму Жордана (здесь она используется в доказательстве теоремы обращения и в доказательстве общей теоремы разложения, несколько иная ее форма применена в лекции 9 по ТФКП для вычисления несобственных интегралов).
Построим контур - часть окружности радиусом R с центром в начале координат, лежащую в области , отметим на ней точки с абсциссой (). Лемма Жордана. Пусть - аналитическая в полуплоскости . Пусть при , равномерно по аргументу (т.е. при , выполнено условие ) Тогда
|
Общая (третья) теорема разложения.
Пусть - аналитическая за исключением конечного числа особых точек . Пусть при , равномерно по аргументу . Тогда .
Доказательство. Пусть в область, ограниченную и отрезком, соединяющим точки , попало m из n особых точек. По общей теореме о вычетах
. Устремим . Внутрь рассматриваемой области войдут тогда все n особых точек. К первому слагаемому может быть применена лемма Жордана, его предел при .будет равен нулю. Ко второму слагаемому может быть применена теорема обращения. Его предел при .будет равен . Следовательно, в результате предельного перехода получим, сокращая обе части на , .
Следствие. Первая теорема разложения.
Пусть . Тогда .
Доказательство. Отыщем оригинал от изображения . По общей теореме разложения =.
Информация в лекции "ШАЛЯПИН Федор Иванович" поможет Вам.
По равномерной сходимости ряда Лорана допустимо его почленное интегрирование ( при вычислении вычета) и почленный переход к пределу. По общей теореме разложения
.
Следствие. Вторая теорема разложения.
Пусть имеет в качестве особых точек только полюсы кратности . Тогда
Доказательство теоремы сводится к применению общей теоремы разложения и формулы вычисления вычета в полюсе порядка.