Решение дифференциальных уравнений и систем методом операционного исчисления

Лекция 4.

Решение дифференциальных уравнений и систем

Методом операционного исчисления.

При решении дифференциальных уравнений и систем используется теорема о дифференцировании оригинала и ее следствие – теорема об изображении n-ой производной.

Метод решения основан на том, что преобразование Лапласа сводит дифференцирование в пространстве оригиналов к умножению на p в пространстве изображений. Поэтому дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами с пространстве оригиналов переходит в алгебраическое уравнение в пространстве изображений. При этом учитываются и начальные условия, что удобно при решении задачи Коши.

Получив решение алгебраического уравнения в пространстве изображений, мы получаем решение в виде некоторого изображения – функции от p. Остается найти соответствующий ему оригинал по свойствам преобразования Лапласа (теоремам подобия, смещения, запаздывания, дифференцирования и интегрирования) или теоремам разложения.

Пусть задано дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами  относительно неизвестной функции  и ее производных с правой частью – функцией , являющейся оригиналом

.

Рекомендуемые материалы

Требуется решить задачу Коши для этого уравнения при начальных условиях .

Применим преобразование Лапласа к обеим частям равенства.

.

Приведем коэффициенты при  в левой части и перенесем члены, зависящие от начальных условий, в правую часть.

,

где  - характеристический многочлен,

Найдем изображение решения

.

Здесь первое слагаемое дает вклад правой части в решение, второе слагаемое – вклад начальных условий. Если начальные условия нулевые, то  и второе слагаемое пропадает.

Примеры.

1.

,  

Первые два слагаемых соответствуют , оригинал для третьего слагаемого находим по теореме об интегрировании оригинала: .

 .

2.

 по теореме о дифференцировании изображения.

3.

4.

.

Если свертку вычислить трудно, то можно найти оригинал  для последнего слагаемого по теореме разложения.

=.

Решение дифференциальных уравнений с помощью интеграла Дюамеля.

Задано дифференциальное уравнение

 с нулевыми начальными условиями.

Известно решение уравнения при . Надо, используя это решение, найти решение для произвольной правой части.

,

Следовательно, . Отсюда по формуле интеграла Дюамеля

. Для вычисления выбирается одна из этих формул.

Решение систем дифференциальных уравнений методом операционного исчисления.

Задана система дифференциальных уравнений. Надо решить задачу Коши.

.

Матричный способ решения.

Применим к обеим частям преобразование Лапласа

Теперь надо найти оригинал для вектора .

Координатный способ решения.

Если обратную матрицу считать сложно, то можно применить преобразование Лапласа к каждому из уравнений системы, получить систему линейных алгебраических уравнений относительно изображений координат вектора , решить ее. Затем надо найти оригиналы координат вектора.

Примеры.

1.                                                                                                Матричный способ                                                                                                                     

 - три раза применена теорема об интегрировании оригинала,

2.

Координатный способ.

,      

Примеры решения типовых домашних задач.

1. Найти изображение для оригинала .

По теореме об интегрировании изображения .

2. Найти  оригинал по изображению .

По теореме об интегрировании оригинала  .

3. Найти  оригинал по изображению .

Особые точки функции  - полюсы первого порядка . По общей третьей теореме разложения (или второй теореме разложения)

.

4. Найти изображение периодического импульса с периодом 2

.

5.

По третьей (или второй) теореме разложения

~.

6. 

,      

            .

7.

            ,    

           

Дополнение

-функция, преобразование Лапласа -функции и ее разложение в ряд Фурье.

-функция не является обычной функцией, это – обобщенная функция, .

Если функцию Хевисайда 1(t)= можно интерпретировать как единичный скачок,

то -функцию можно считать единичным импульсом (единичным в смысле площади под графиком функции). Эти понятия используются в теории автоматического управления, в кибернетике. Можно считать, что .

Справедливо «фильтрующее свойство - функции»   .

Интеграл представляет собой «фильтр», который пропускает то значение функции, при котором аргумент - функции обращается в нуль. На этом свойстве, которое доказывается в теории обобщенных функций, базируются, фактически, все применения -функции.

Преобразование Лапласа -функции.

.

Как видно, обычными изображениями эти выражения не являются, так как не выполнено необходимое условие изображения.

В лекции "4.3 Моголы" также много полезной информации.

Разложение -функции в ряд Фурье.

Разложим -функцию в ряд Фурье как функцию, заданную на отрезке .

.

.