Теоремы разложения

Лекция 3.

Теоремы разложения.

Сформулируем достаточные условия изображения – требования, предъявляемые к функции комплексной переменной, чтобы она была изображением некоторого оригинала.

1. Функция  - аналитическая при  (константа определяет третье требование к оригиналу).

2.  сходится ().

3. .

При выполнении этих требований функция является изображением некоторого оригинала.

Теорема обращения. Пусть функция  удовлетворяет достаточным условиям изображения. Тогда справедлива формула обращения

Рекомендуемые материалы

Интеграл, стоящий в правой части этой формулы, называется интегралом Римана – Меллина, он осуществляет обратное преобразование Лапласа (переход от изображения к оригиналу).

Доказательство см.т.Х1 учебника, стр.160 – 166.

Приведем без доказательства лемму Жордана (здесь она используется  в доказательстве теоремы обращения и в доказательстве общей теоремы разложения, несколько иная ее форма применена в лекции 9 по ТФКП  для вычисления несобственных интегралов).

Общая (третья) теорема разложения.

Пусть - аналитическая за исключением конечного числа особых точек . Пусть  при ,  равномерно по аргументу . Тогда .

Доказательство. Пусть в область, ограниченную и отрезком, соединяющим точки , попало m из n  особых точек. По общей теореме о вычетах

. Устремим . Внутрь рассматриваемой области войдут тогда все n особых точек. К первому слагаемому может быть применена лемма Жордана, его предел при .будет равен нулю. Ко второму слагаемому может быть применена теорема обращения. Его предел при .будет равен . Следовательно, в результате предельного перехода получим, сокращая обе части на , .

Следствие. Первая теорема разложения.

Пусть . Тогда  .

Доказательство. Отыщем оригинал от изображения  . По общей теореме разложения  =.

Информация в лекции "ШАЛЯПИН Федор Иванович" поможет Вам.

По равномерной сходимости ряда Лорана допустимо его почленное интегрирование ( при вычислении вычета) и почленный переход к пределу. По общей теореме разложения

.

Следствие. Вторая теорема разложения.

Пусть имеет в качестве особых точек только полюсы кратности . Тогда   

Доказательство теоремы сводится к применению общей теоремы разложения и формулы вычисления вычета в полюсе порядка.