Теоремы запаздывания и свертки

Лекция 2.

Теоремы запаздывания и свертки.

Теорема запаздывания.

Доказательство . Заметим, что =0 при , .

Рекомендуемые материалы

.

Изображение периодической функции.

Пусть функция - периодическая с периодом Т. Обозначим .

Вычислим =. Представим функцию  в виде

 и применим теорему запаздывания .

Примеры.

1) Найти оригинал по изображению  .

. По теореме запаздывания .

2)  Найти изображение периодической функции с периодом Т.

,

Изображения элементарных импульсов.

Свертка.

Сверткой  двух функций называется интеграл =.

Свойства свертки.

1. Коммутативность.

2. Ассоциативность.

 (доказательство громоздко, см. его в учебнике т.Х1).

3.  - оригинал, если  - оригиналы.

Самостоятельно проверьте первые два требования к оригиналу. Проверим третье требование.

Пусть . Обозначим .

а)

<

б) .

.

Теорема о свертке (теорема о произведении изображений). .

Доказательство.

Пример. Найти оригинал, соответствующий изображению

.

Интеграл Дюамеля.

,  

,  

Эти соотношения называются интегралом Дюамеля.

Обратите внимание на лекцию "4. Производственное освещение".

Доказательство. Выражения, стоящие в одной строке равны по коммутативности свертки. Докажем первые соотношения в строках.

Но . Отсюда следует справедливость первого соотношения в первой строке.

Но . Отсюда следует справедливость второго соотношения во второй строке.