Теоремы запаздывания и свертки
Лекция 2.
Теоремы запаздывания и свертки.
Теорема запаздывания.
Здесь - функция , удовлетворяющая условию физической реализуемости и смещенная по оси времени вправо на - «запаздывающая функция». |
Доказательство . Заметим, что =0 при , .
Рекомендуемые материалы
.
Изображение периодической функции.
Пусть функция - периодическая с периодом Т. Обозначим .
Вычислим =. Представим функцию в виде
и применим теорему запаздывания .
Примеры.
1) Найти оригинал по изображению .
. По теореме запаздывания .
2) Найти изображение периодической функции с периодом Т.
,
Изображения элементарных импульсов.
Прямоугольный импульс. | |
Треугольный импульс.
| |
Трапецеидальный импульс
| |
Синусоидальный импульс |
|
Свертка.
Сверткой двух функций называется интеграл =.
Свойства свертки.
1. Коммутативность.
2. Ассоциативность.
(доказательство громоздко, см. его в учебнике т.Х1).
3. - оригинал, если - оригиналы.
Самостоятельно проверьте первые два требования к оригиналу. Проверим третье требование.
Пусть . Обозначим .
а)
<
б) .
.
Теорема о свертке (теорема о произведении изображений). .
Доказательство.
= = |
Пример. Найти оригинал, соответствующий изображению
.
Интеграл Дюамеля.
,
,
Эти соотношения называются интегралом Дюамеля.
Обратите внимание на лекцию "4. Производственное освещение".
Доказательство. Выражения, стоящие в одной строке равны по коммутативности свертки. Докажем первые соотношения в строках.
Но . Отсюда следует справедливость первого соотношения в первой строке.
Но . Отсюда следует справедливость второго соотношения во второй строке.